Ayuda con el ejercicio de elasticidad de la renta en la teoría económica de Becker

Question

En la página 18 de su libro Teoría económica Gary Becker ofrece al lector el siguiente ejercicio (no se dan respuestas):

Declaración de ejercicio:

Escribe la fórmula $\sum_j K_jN_j = 1$ donde $N_j$ es la elasticidad de la renta de mercado de la demanda del $j$ el bien y $K_j$ es la fracción de la renta total del mercado que se gasta en $j$ en términos de la $\eta_{ij}$ y $k_{ij}$ donde estas son las elasticidades de la renta y las cuotas del $i$ a persona para el $j$ El bien. En primer lugar, se debe derivar el $N_j$ en términos de $\eta_{ij}$ . Es $N_j$ una media simple de los $\eta_{ij}$ ¿o las personas con mayores ingresos tienen un mayor peso que las personas con menores ingresos?

Mi pregunta:

¿Qué hace $\sum_j K_jN_j = 1$ ¿Representar?

Mi primera intuición fue que entiendo por qué la suma de todos $K_j$ las acciones se sumarían a un todo. La suma de todas las acciones es igual al ingreso total que podría ser 1. Así que $K_j$ sería entonces sólo un porcentaje del conjunto. Pero, ¿qué sería entonces $K_jN_j$ ¿Representar? Aquí es donde me he atascado.

EDITAR:

Bien, aquí está mi primer intento de resolver el problema:

Sabemos que $\eta_{ij}$ representa la elasticidad de la renta del individuo $i$ con respecto a la $j$ el bien. Así, por definición, la elasticidad de la renta se define como \begin{equation} \eta = \frac{\partial Q}{\partial I} \frac{I}{Q} \end{equation}

También conocemos la fracción de los ingresos totales del mercado que los individuos $i$ gasta en el bien $j$ es $k_{ij}$ . Pienso que debería ser simplemente la cantidad gastada en el bien dividida por la renta total del individuo. Así que debería ser \begin{equation} k_{ij} = \frac{p_jq_j}{I} \end{equation}

Todavía no veo cómo esto debería salir a $1$ sin embargo. A menos que pensemos que las elasticidades se anulan, de manera que para cada $\eta_i$ , $\exists$ $\eta_j = \frac{1}{\eta_i}$ tal que $\eta_i\eta_j=1$ .

Answer 1

La pregunta precisa que hizo el OP fue qué hace $K_j N_j$ representar. Como dice la respuesta de Alecos, la declaración $\sum_j K_j N_j = 1$ La elasticidad de la demanda, es decir, la media ponderada de las elasticidades de la renta es igual a uno, significa que si la renta total aumenta en un 1%, el gasto/consumo total también aumenta en un 1%. El gasto total de mercado de algunos bienes (con una elasticidad de la demanda sobre la renta > 1) subirá más del uno por ciento, el de algunos bienes (con una elasticidad de la demanda sobre la renta entre 0 y 1) subirá pero menos del uno por ciento, y el de algunos bienes (con una elasticidad de la renta < 0) bajará. Pero si tomamos todos los bienes juntos, el gasto subirá un 1% cuando la renta total suba un 1%. (Becker expone este punto en el contexto de un individuo y no del mercado completo en la página 16 y en la nota 2 del texto).

Ahora proporciono la solución al enunciado del ejercicio:

Empezar con la noción de que cuando el individuo $i$ Los ingresos de la empresa $y_i$ aumenta en un uno por ciento, su demanda de bienes $j$ aumenta en $\eta_{ij}$ por ciento. ¿Qué efecto tiene esto en la demanda total del mercado del bien $j$ ? Depende de la fracción $w_{ij}$ de la demanda total del bien $j$ individual $i$ cuenta. La elasticidad total del mercado para el bien $j$ , $N_j$ es la suma ponderada de los aumentos de la demanda de cada individuo: $N_j = \sum_i w_{ij} \eta_{ij}$

El álgebra puede conseguir esto en términos de $k_{ij}$ y $\eta_{ij}$ (y $y_i$ ) como pide el enunciado del ejercicio.

Primero hay que encontrar una expresión para $w_{ij}$ la fracción de la demanda total (o del gasto) de la persona $i$ para bien $j$ : Dejar $q_{ij}$ denotan $i$ La demanda de $j$ esta fracción es $$w_{ij}=\frac{q_{ij}}{\sum_i q_{ij}} = \frac{k_{ij} y_i}{\sum_I k_{Ij} y_I}$$ donde la segunda igualdad proviene de la definición $k_{ij} \equiv \frac{p_j q_{ij}}{y_i}$ .

Entonces $N_j = \sum_i f_{ij} \eta_{ij} = \sum_i \frac{k_{ij} y_i}{\sum_I{k_{Ij} y_I}} \eta_{ij}$ . El peso/fracción $w_{ij}$ está aumentando en $y_i$ para un determinado $k_{ij}$ la elasticidad de una persona con mayores ingresos es mayor. (En realidad, lo que importa para el peso de la elasticidad de un individuo no es sólo la renta, sino $k_{ij} y_i$ sus gastos en bienes $j$ en relación con el gasto total del mercado en bienes $j$ . Esto tiene un sentido intuitivo: la elasticidad de un gran consumidor de un bien tendrá un mayor efecto en la elasticidad de mercado de ese bien que la de un consumidor ligero, independientemente de la renta).

La fracción del gasto total del mercado que se gasta en el bien $j$ es $K_j = \frac{\sum_i k_{ij} y_i}{\sum_i y_i}$ .

Así que con un poco de álgebra simple tenemos $K_j N_j = \frac{\sum_i k_{ij} y_i \eta_{ij}}{\sum_i{y_i}}$ .

Con más álgebra y utilizando la identidad $\sum_j k_{ij}\eta_{ij} = 1$ (ver p. 16) puede confirmar que $\sum K_j N_j = \frac{\sum_i (y_i \sum_j k_{ij}\eta_{ij})} {\sum_i{y_i}} = 1$ .

Answer 2

Sólo para demostrar que efectivamente, $\sum_j K_jN_j = 1$ Tenemos lo siguiente:

$K_j$ es la fracción del gasto total dirigida al bien $j$ . El gasto total es también el ingreso de mercado (denotado por $I_m = p_1Q_1+...+p_nQ_n$ ). Así que

$$K_j = \frac {p_jQ_j}{I_m}$$

$N_j$ es el mercado elasticidad de la renta de la demanda del bien $j$ . Así que $$N_j = \frac {\partial Q_j}{\partial I_m}\cdot \frac {I_m}{Q_j}$$

Por lo tanto,

$$K_jN_j = \frac {p_jQ_j}{I_m}\cdot \frac {\partial Q_j}{\partial I_m}\cdot \frac {I_m}{Q_j}$$

Simplifica,

$$K_jN_j = p_j\frac {\partial Q_j}{\partial I_m}$$

En silencio, suponemos que los precios no se ven afectados. Así que podemos insertar el precio en la derivada parcial

$$K_jN_j = \frac {\partial (p_jQ_j)}{\partial I_m}$$

Entonces

$$\sum_j K_jN_j = \sum_j\frac {\partial (p_jQ_j)}{\partial I_m} = \frac {\partial }{\partial I_m}(p_1Q_1+...+p_nQ_n) = \frac {\partial I_m}{\partial I_m} = 1$$

Al ponderar la elasticidad de la demanda de ingresos para cada bien por el peso del gasto que tiene en el conjunto de la economía, llegamos esencialmente a una tautología, diciendo "si el gasto total del mercado aumenta en 100 euros, entonces... el gasto total del mercado aumentará en 100 euros". Lo que Becker quiere es descomponer esta tautología en algo un poco más perspicaz, en lo que respecta a las diferencias de ingresos individuales.