¿Cuáles son las consecuencias de largo plazo promedio de la varianza de la tasa y por qué Engle ganó el Premio Nobel de ARCO modelo de desarrollo?

Question

En un ARCO(m) modelo que hemos $$ \sigma_n^2=\sum_{i=1}^{m} \alpha_i u_{n-i}^2 $$ donde $u_i$ se define como la continua agravado retorno durante el día $i$ (entre el final del día $i-$ 1 y el final del día $i$), $\sigma_n^2$ es la varianza de la tasa y $\alpha_i$ es la cantidad de peso que se concede a la observación de la $i$ días atrás.

Una extensión es de suponer que existe un medio a largo plazo variación de la tasa de $V_L$ y que esto debe ser dado algo de peso $\gamma$. Esto lleva a que el modelo que toma la forma $$ \sigma_n^2=\gamma V_L+\sum_{i=1}^{m} \alpha_i u_{n-i}^2. $$ ¿Cuáles son las consecuencias de esta extensión?
¿Por qué ha Engle ganó el Premio Nobel por el desarrollo de este "simple" modelo?

Answer 1

La mejor respuesta a su pregunta es, probablemente, dada por el comité del premio Nobel de sí mismo en "El Premio en Ciencias Económicas 2003 - Información Avanzada" del documento. Usted debe leer en su totalidad. A continuación es un extracto.

Según el comité:

Los economistas financieros desde hace ya tiempo se conoce que la volatilidad en los rendimientos tiende a clúster y que las distribuciones marginales de muchos rentabilidad del activo se leptokurtic, lo que significa que tienen colas más gruesas que la densidad de la distribución normal con la misma media y varianza. Aunque el tiempo de agrupación de los devuelve era conocido para muchos investigadores, devuelve todavía estaban modelados como independientes e idénticamente distribuidas a lo largo del tiempo. Los ejemplos incluyen Mandelbrot (1963) y Mandelbrot y Taylor (1967) que se utiliza el llamado estable Paretian distribuciones para caracterizar la distribución de los rendimientos. Robert Engle la modelización de variables en el tiempo de la volatilidad mediante regresión automática heterocedasticidad condicional (ARCH) lo que significó un verdadero avance.

Supongamos que en el tiempo $t$ observamos que el estocástico vector $(u_t, \mathbb{x}_t^ {'})$, donde $u_t$ es un escalar y $\mathbb{x}_t$ puede contener algunos rezagos de $u_t$. El modelo predictivo de la variable $u_t$ es $$ u_t = \mathbb{E}(u_t | \mathbb{x}_t) + \epsilon_t \etiqueta{3.1} \label{un}$$

Es generalmente asumido que $\mathbb{E}(u_t | \mathbb{x}_t)$ tiene una forma paramétrica y $\mathbb{E}\epsilon_t = 0$, $\mathbb{E}\epsilon_t \epsilon_s = 0, \forall t \no = s$

A la hora de estimar los parámetros en $\mathbb{E}(u_t | \mathbb{x}_t)$, se suele suponer que los incondicionales de la varianza del término de error $\epsilon_t$ es constante o variable en el tiempo en un desconocido de la moda. Engle considera la alternativa de la suposición de que, mientras la incondicional la varianza de error − si existe − es constante, el condicional de la varianza de error es variable en el tiempo.

Esta noción revolucionaria hecho posible explicar sistemática de las características de los movimientos de la varianza a lo largo del tiempo y, a fortiori, para estimar los parámetros de la varianza condicional conjuntamente con los parámetros de la media condicional. La literatura es totalmente desprovisto de su trabajo anterior con una idea similar.

Engle con parámetros de la varianza condicional de $\epsilon_t$ en el modelo de $\eqref{un}$ tal que gran positivo o negativo de los errores de $\epsilon_t$ fueron probable que sea seguido por otro gran error de firmar y pequeños errores por un pequeño error de firmar. Hoy en día, este es generalmente referido como la volatilidad de la agrupación. Se supone que $\epsilon_t$ puede ser descompuesto como $\epsilon_t = z_t \sigma_t^{\frac{1}{2}}$ donde ${z_t}$ es una secuencia de variables aleatorias iid con cero la media y la varianza la unidad y donde $$ \sigma_t = \operatorname{Var}(\epsilon_t | \mathcal{F}_t) = \alpha_0 + \sum_{j=1}^m \alpha_j \epsilon_{t j}^{2} \etiqueta{3.2}\label{dos}$$

En $\eqref{dos}$ $\epsilon_t = u_t - \mathbb{E}(u_t | \mathbb{x}_t)$, $\alpha_0 > 0$ y $\alpha_j \geq 0, j = 1, \cdots m$, la información en conjunto $\mathcal{F}_t = \sigma(\{\epsilon_{t j}, j \geq 1\})$

Ecuación $\eqref{dos}$ define el ARCO modelo introducido en el "Autorregresivos heterocedasticidad condicional con las estimaciones de la varianza de Reino Unido la inflación", donde la varianza condicional es una función de los valores pasados de los cuadrados de los errores.

En este clásico de papel, Engle desarrollado la teoría de la estimación para el modelo de ARCO, dio las condiciones para los estimadores de máxima verosimilitud para ser consistente y asintóticamente normal, y presentó un multiplicador de Lagrange de la prueba para la hipótesis de ARCO (igual condicional e incondicional de la varianza) en los errores de $\epsilon_t$.

Answer 2

$V_L$ es el largo plazo de la varianza (o la varianza incondicional) si y sólo si $\gamma=1-\sum_{i=1}^n \alpha_i$, porque el tiempo de ejecución de la varianza compatible con el modelo $$ \sigma_n^2 = \gamma V_L + \sum_{i=1}^n \alpha_i u_{n-i}^2 $$ es $$ \sigma^2=\frac{\gamma V_L}{1-\sum_{i=1}^n \alpha_i}. $$

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La presencia de la intersección $\gamma V_L$ restringe $\sigma_n^2$ a nunca caer por debajo de $\gamma V_L$ (si $\alpha_i>0, \forall i$). Usted puede decir que esto es fundamental (en la estadística, no el objeto sentido) a nivel de la varianza. Yo no soy consciente de que cualquier función especial de este término en la teoría financiera, pero como yo no soy muy versado en la teoría financiera, ya sea.

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El ARCO del modelo y sus extensiones han demostrado ser muy útiles herramientas para la modelización macroeconómica y financiera de datos. La idea de la modelización de la varianza condicional de esta sencilla manera ahora parece trivial, pero alguien tenía que proponer primero. Curiosamente, el modelo simple a menudo se produce un muy buen ajuste de los datos empíricos. El documento original por Engle también ha sido un punto de partida para muchas extensiones y mejoras de la modelo, una señal de que había algo valioso con respecto a la idea original. Decenas de miles de citas (para ARCH y GARCH, y sus extensiones) después vemos que el modelo ha sido ampliamente aceptado en la comunidad financiera, que es una medida muy importante cuando se trata de los premios Nobel. No se puede descartar algo que se ha convertido en un estándar y un benchhmark en un campo suficientemente grande de la premio Nobel consideraciones, se puede?