Cartera equivalente de máxima certeza con costes de transacción

Question

Por curiosidad, he intentado calcular las ponderaciones de la cartera de una asignación equivalente de máxima certeza, sin embargo, incorporando los costes de transacción (cuadráticos). Sin embargo, mi resultado no es tan intuitivo como pensaba =( Estaría encantado de recibir todas y cada una de las pistas para resolver este problema:

Sean los parámetros de la distribución de la rentabilidad $\Sigma$ y $\mu$ . El vector de asignación actual es $\omega_c$ . El factor de aversión al riesgo del inversor se define como $\gamma$ . Al trasladar su riqueza a la asignación $\alpha$ el inversor paga una tasa de la forma $T = c(\alpha - \omega_c)'(\alpha - \omega_c)$ con algún parámetro $c$ por lo que los costes de transacción aumentan cuadráticamente por el factor $c$ . Por lo tanto, en el punto de tiempo $t+1$ el inversor espera que los rendimientos de la cartera sean $$\mu_\text{PF} = \alpha'\mu - T(\alpha,\omega_c)$$ y la correspondiente varianza de la cartera $$\sigma^2_\text{PF} = \alpha'\Sigma\alpha.$$ En una línea, se elige la asignación como solución al problema de maximización $$\alpha^* = \arg \max _{\sum \alpha = 1} \alpha'\mu - T(\alpha,\omega_c) - \frac{\gamma}{2}\alpha'\Sigma\alpha.$$ Equivalentemente, tenemos: $$\alpha^* = \omega_c + \arg \max _{\sum \Delta = 0} (\omega_c+\Delta)'\mu - c\Delta'\Delta - \frac{\gamma}{2}(\omega_c+\Delta)'\Sigma(\omega_c+\Delta).$$ $$ \Delta^* = \arg \max _{\sum \Delta = 0} \underbrace{\omega_c '\mu - \frac{\gamma}{2}\omega_c'\Sigma\omega_c}_{CE(\omega_c)} +\Delta'\mu - c\Delta'\Delta - \frac{\gamma}{2}\Delta'\Sigma\Delta - \gamma \Delta'\Sigma\omega_c.$$ $$ \Delta^* = \arg \max _{\sum \Delta = 0} \Delta'\mu - \Delta'\underbrace{(c I + \frac{\gamma}{2}\Sigma)}_{:=A}\Delta - \gamma \Delta'\Sigma\omega_c.$$

Las condiciones de primer orden tienen la forma $$\mu - 2A\Delta - \gamma \Sigma\omega_c -\lambda\iota= 0$$ $$ \iota ' \Delta = 0$$ De ello se desprende que $$A^{-1} (\mu-\gamma \Sigma \omega_c - \lambda \iota) = 2\Delta$$ Evaluación de $\iota'\Delta = 0$ con $\Delta$ como en el caso anterior da como resultado $$\lambda = \frac{1}{\iota' A^{-1}\iota}\iota'A^{-1}[\mu - \gamma \Sigma \omega_c]$$ El complemento ofrece $$\Delta = A^{-1} (I - \frac{1}{\iota'A^{-1}\iota} \iota' A^{-1}\iota) (\mu-\gamma \Sigma \omega_c ) = 0\iota.$$ En otras palabras, no importa lo subóptima que sea la asignación actual e independientemente de la sice $c$ Nunca habrá un reequilibrio . No me creo este resultado pero tampoco veo el error en mis cálculos. ¿Alguien tiene una idea, donde me perdí algo / hizo algo mal?

Answer 1

Parece un pequeño error en la última ecuación. Debería decir

$\Delta^* = A^{-1} \left[\mu-\gamma \Sigma \omega_c - \frac{1}{\iota'A^{-1}\iota} \iota' A^{-1}(\mu-\gamma \Sigma \omega_c )\iota\right]$ ,

que no es equivalente a su resultado.

Answer 2

Usted desea resolver el siguiente problema de optimización:

\begin{gather} \Delta^* = \arg \max_\Delta \Delta^T\mu - \Delta^T A \Delta - \gamma \Delta^T \Sigma\omega_c\\ \text{subject to:}\quad \Delta^T \mathbf{1} = 0 \end{gather}

Construir el lagrangiano $$ \mathcal{L}(\Delta,\lambda) = \Delta^T\mu - \Delta^T A \Delta - \gamma \Delta^T \Sigma\omega_c - \lambda(\Delta^T \mathbf{1}) $$

Las condiciones de KKT de primer orden son las siguientes

$$\partial_\Delta \mathcal{L}(\Delta^*,\lambda^*) = \mu - A\Delta^* - \gamma\Sigma\omega_c - \lambda^*\mathbf{1} = \mathbf{0} \tag{1}$$

junto con $\partial_\lambda \mathcal{L}(\Delta^*,\lambda^*)=0$ (que es precisamente la ecuación de restricción)

$(1)$ equivale a escribir $$ \Delta^* = A^{-1}(\mu-\lambda^*\mathbf{1} - \gamma\Sigma\omega_c) \tag{2}$$

Introduciendo esto en la ecuación de la restricción se obtiene: \begin{align} &(\mu-\lambda^*\mathbf{1} - \gamma\Sigma\omega_c)^T(A^{-1})^T \mathbf{1} = 0 \\ &\mu^T (A^{-1})^T \mathbf{1} -\lambda^*\mathbf{1}^T (A^{-1})^T \mathbf{1} -\gamma\omega_c^T\Sigma^T (A^{-1})^T \mathbf{1} = 0 \end{align} Observando que $A := \frac{\gamma}{2}\Sigma + cI$ es simétrica, es decir $(A^{-1})^T = A^{-1}$ más rendimientos, como usted menciona: $$ \lambda^* = \frac{1}{\mathbf{1}^T A^{-1} \mathbf{1} } \mathbf{1}^T A^{-1} (\mu -\gamma \Sigma \omega_c ) \tag{3}$$ Enchufando $(3)$ en $(2)$ finalmente da: $$ \Delta^* = A^{-1}\left( \mu - \gamma\Sigma\omega_c - \frac{1}{\mathbf{1}^T A^{-1} \mathbf{1} } \mathbf{1}^T A^{-1} (\mu -\gamma \Sigma \omega_c ) \mathbf{1} \right) $$