¿Cuál es el nombre de este casi-browniano proceso estocástico?

Question

1) Hace el siguiente algoritmo (mi pregunta es la matemática, no relacionados con la programación):

n = 1000000
dt = 0.01
B = zeros(n)        # [0, 0, 0, ..., 0]
for i in range(1,n):
    B[i] = B[i-1] + random.normal(0, sqrt(dt)) 

simular un estándar de movimiento browniano, ya que tenemos un total de $B(t+dt) - B(t) \sim \mathcal{N}(0, \sqrt{dt}^2)$?

Según mis pruebas, yo diría que sí, pero quería estar seguro.

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2) ¿Cuál es el nombre del proceso obtiene haciendo:

B[i] = B[i-1] + random.normal(0, dt ** 0.3)

es decir,

$A$B(t+h) - B(t) \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$$ con, por ejemplo, $\sigma = h^{0.3}$ en vez de $\sigma = h^{0.5}$ para el estándar browniano.

Parece que no estaría lejos de ser un movimiento browniano fraccional con el exponente de Hurst $H = 0.3$ (pero la fórmula de la covarianza - primera fórmula de esta página se aplicaría sólo por $t = s$ o estoy equivocado?)

¿Cuál es el nombre de un proceso estocástico, por lo que los incrementos se gaussiano con desviación estándar de $(dt)^{0.3}$ en vez de $(dt)^{0.5}$?

Answer 1

El primer proceso es un BM.

El segundo no existe en tiempo continuo. La varianza desciende muy lentamente con el dt y el proceso golpes en el límite. Se puede romper el (0,1) el intervalo de 1, 100, 1000, 1000000 pasos y ver lo que está sucediendo.

La varianza de una martingala tiene a escala con dt: si es demasiado rápido, a continuación, el proceso se muere, si es demasiado lento, a continuación, el proceso se desmorona.

Editar: Supongamos que la partición de la $(0,1)$ intervalo en $N$ pasos de longitud $1/$ N, y definir el proceso $X_n$ más de estos puntos. Ahora dicen que cada paso ha de varianza que como las escalas de $$var(X_{n+1}-X_n) \sim (1/N)^\alpha$$

Si el proceso es un paseo aleatorio, entonces la varianza del proceso en $t=1$, es decir $X_N$) sería $$var(X_n) \sim \sum_{n=1}^N (1/N)^\alpha = N^{1-\alpha}$$ Se puede ver que como $N\rightarrow \infty$ esto va a cero ($\alpha>0$), golpes ($\alpha<1$) o simplemente saldos al uno por $\alpha=1$ que corresponde a la norma BM.

Answer 2

El primer proceso de $$ B_{t+dt} = B_t + Z $$ donde $Z$ es independiente de $(B_s)_{s \le t}$ y sigue una distribución Gaussiana con media $0$ y varince $dt$ es un estándar el movimiento Browniano (por lo tanto la varianza de $B_t$ es $t$).

Para el segundo proceso, recordemos la definición de su enlace: $$ E[B^H_t B^H_s] = \frac12 ( t^{2H} + s^{2H} - |t-s|^{2H}), $$ así, por $t=s$ esto es $\frac12 ( t^{2H} + t^{2H} - |0|^{2H}) = t^{2H}$. Tenga en cuenta que por $H=\frac12$ esto equivale a $t$ como en el movimiento Browniano caso anterior.

Para un proceso de incremento después de que $t$ es no independientes del proceso en el tiempo $t$. Mirar el caso $s>t$: $$ E[B^H_t (B^H_s-B^H_t)] = E[B^H_t B^H_s] - E[B^H_t B^H_t], $$ y esto es, utilizando las fórmulas de arriba $$ \frac12 ( t^{2H} + s^{2H} - (s-t)^{2H}) - t^{2H}. $$ La expresión anterior es igual a 0 para $H = \frac12$: $$ \frac12 ( t + s - (s-t)) - t = \frac12 ( t + s - s + t) - t = 0. $$

Finalmente, para contestar la pregunta: tienes la varianza del término de la derecha, pero de muestreo el incremento que usted tiene que tomar la correlación/dependencia del incremento para el proceso de en cuenta. Así como dicen que el proceso es no el movimiento Browniano fraccional. Por último, me pregunto si existe este proceso en tiempo continuo.