¿Cómo calcular el rendimiento total del Tesoro de EE. UU. a partir del rendimiento?

Question

Estoy luchando por comprender el significado del rendimiento total del Tesoro de los Estados Unidos.

Lo que es fácilmente disponible es obtener datos de rendimiento. El rendimiento puede ser traducido directamente al precio del bono en ese momento. En otras palabras, aunque el rendimiento use la unidad de %, esto representa el porcentaje de descuento del principal. (aquí)

Sin embargo, no creo que signifique algún tipo de retorno. Encontré que hay algunas fuentes (por ejemplo, Merrill) que informan el valor del índice del Tesoro de los Estados Unidos, el retorno de precio y el retorno total. (Creo que lo que significa 'total' es que tienen en cuenta los cupones y todo).

Me gustaría saber cómo traducir [rendimiento ---> índice ---> retorno]. Si es posible, quiero saber detalles técnicos (matemáticos) de nivel profundo, así como intuición.

PD @haginile comentó en una pregunta similar aquí, pero no explicó por qué es difícil calcular el retorno a partir del rendimiento. También el enlace a su blog está roto.

Answer 1

Comencemos con un bono simple. El rendimiento total desde el tiempo $ t_0 $ hasta el tiempo $ t_1 $ se puede calcular fácilmente de la siguiente manera:

$$ R = \frac{\text{precio final} + \text{interés devengado al final} + \text{pagos de cupón entre $ t_0 $ y $ t_1 $}}{\text{precio inicial} + \text{interés devengado al inicio}} - 1. $$

(Esto no es diferente a cómo calcularías el rendimiento total en una acción u otros activos: $(P_1 + \text{dividendo}) / P_0 - 1$).

Si sabes exactamente quién es el bono (por ejemplo, si conoces el cupón y la madurez), entonces dados los rendimientos a vencimiento en $ t_0 $ y $ t_1 $, es trivial calcular los precios y los intereses devengados correspondientes. A partir de ahí, el cálculo del rendimiento total también es trivial.

El problema es, ¿qué pasa si no conoces el cupón y la madurez del bono? En ese caso, se requieren aproximaciones o suposiciones. Afortunadamente, el rendimiento total de un bono se puede aproximar (bien) a partir de: $$ R = \text{ingreso por rendimiento} - \text{duración}\cdot \Delta y + \frac{1}{2} \cdot \text{convexidad} \cdot (\Delta y)^2, $$ donde el ingreso por rendimiento se puede aproximar por $\text{rendimiento}_0 \times \Delta t$. Por ejemplo, si el rendimiento es del 5%, entonces el ingreso por rendimiento mensual es simplemente $5\% / 12$. Si tienes estadísticas de duración y convexidad, entonces puedes aproximar bastante bien los rendimientos totales.

Ahora pasemos al nivel del índice. Para un índice, básicamente repites el cálculo de rendimiento total anterior para cada bono incluido en el índice. El rendimiento total del índice general es simplemente el promedio ponderado por valor de mercado de los rendimientos de los componentes: $$ R_\text{índice} = \sum_{i=1}^N w_i R_i. $$ (Esto también es similar a cómo se calcula el rendimiento total de un índice de acciones.)

En este punto, puede que tengamos varios problemas:

1. ¿Tenemos todos los componentes del índice?
2. ¿Conocemos sus valores de mercado?
3. ¿Tenemos información de precios de cada bono?

Para el índice del Tesoro de los Estados Unidos, estos probablemente no sean problemas. Pero para la mayoría de otros índices, probablemente no tengas los datos subyacentes. En estos casos, se requieren aproximaciones. Afortunadamente, la mayoría de los proveedores de índices publican el rendimiento, la duración efectiva y la convexidad de un índice, por lo que la fórmula de aproximación anterior se puede aplicar a nivel de índice.

Hay muchas complejidades involucradas si deseas rendimientos totales exactos, pero por eso existen estos proveedores de índices. La última edición de la Guía del Índice Global de Lehman Brothers (2008) tenía 336 páginas...

Answer 2

Suponga que tiene la serie temporal de rendimiento constante al vencimiento a 10 años del Tesoro $\{y_t\}$ de FRED (aquí), puede calcular el rendimiento total $R_t$ desde $t$ hasta $t+\Delta t$ de la siguiente manera.

Definir

$$ \text{Diario: } \Delta t = 1/365 $$ $$ \text{Mensual: } \Delta t = 1/12 $$ $$ \text{Cambio en el rendimiento: } \Delta y = y_{t+\Delta t} - y_t $$ $$ \text{Vencimiento: } M = 10 $$

Entonces el rendimiento total es

$$ R_t = \text{ingreso por rendimiento} - \text{duración}\cdot \Delta y + \frac{1}{2} \cdot \text{convexidad} \cdot (\Delta y)^2, $$

donde

$$ \text{ingreso por rendimiento} = (1+y_t)^{\Delta t}-1 \approx y_t {\Delta t} $$ $$ \text{duración} = \frac{1}{y_t} {z_t}^{2 M} $$ $$ \text{convexidad} = C_1 - C_2 $$ y $$ z_t = 1+\frac{y_t}{2} $$ $$ C_1 = \frac{2}{y_t^2} (1-{z_t}^{-2 M}) $$ $$ C_2 = \frac{2 M}{y_t} {z_t}^{-2 M - 1} $$.

Esta fórmula se basa en Tuckerman (2012) y Swinkels (2019).

Answer 3

Te sugiero lo siguiente:

$$R_c=\Delta t-Mdur\Delta y+\frac{1}{2}[Cvex-Mdur^2](\Delta y)^2 +(1+y)^{-1} \Delta y \Delta t)$$

donde:

$R_c =$ retorno compuesto continuamente

Si se desea, $R_a =$ retorno simple anualizado $\approx \exp^{R_c}-1$

$=\ln(1+y)$

$y$ = rendimiento al vencimiento

Mdur = Duración modificada, definida por $Mdur=-\frac{1}{P_0}\frac{\partial P}{\partial y}$

Cvex = Convexidad, definida por $Cvex=\frac{1}{P_0}\frac{\partial^2P}{\partial y^2}$

Source: Bo Johansson, Una nota sobre la aproximación de los retornos de bonos permitiendo tanto cambios en el rendimiento como el paso del tiempo, 2012. Ec. 5. (enlace).