Supongamos que por cada $y$, $f(x,y)$ es estrictamente convexa en $x$. $f(x,y)$ es continua en $y$ y dejar que $\mathcal X$ ser compacta (en mi problema, $\mathcal X$ es un intervalo). Puede alguien sugerir cualquier teoremas o referencias para el problema de si $x^*(y) = \text{argmin}_{x \in \mathcal X} f(x,y)$ es continua en $y$?
Respuesta
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Como nadie ha contestado, voy a darle una oportunidad.
Para empezar, junto con la compacidad, y por supuesto nonemptiness, de $X$, lo que le han supuesto, usted necesita $f(x,y)$ a ser continua en $x$ en el fin de garantizar, a través de Weierstrass extrem teorema del valor que $$\theta(y)=\text{argmin}_{x\in X}f(x,y)\etiqueta{1}$$ existe para cualquier $y$. Es bueno, como usted lo hace, para asumir estricta convexidad en $x$, para esto nos da una solución única a la minimización de los problemas, y mus $(1)$ es un singleton.
Bajo estos supuestos, voy a tratar de demostrar que $(1)$ es continua en el siguiente sentido, donde yo soy en esencia el uso de la definición de continuidad en términos de límites de secuencias. El hecho de que el argmin es un conjunto que hace que sea complicado de aplicar directamente la noción de la continuidad de la función que rara vez, en la escuela primaria de cálculo, mapas de elementos a un conjunto de conjuntos.
Teorema. Considere un conjunto compacto no vacío $X\subseteq \mathbb{R}$ y una función continua $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$. Además, suponga que $$\theta(\bar{y})=\{z|z\text{ minimiza }f(x,\bar{y})\text{ más }x\X\}$$ es el singleton $\{\bar{z}\}$ (para asegurarse de esto, supongamos estricta convexidad en el primer argumento de $f$). Entonces, para las secuencias de $z_n\en \theta(y_n)$, donde $\{y_n\}_{\mathbb{N}}$ es una sucesión convergente a $\bar{y}$, tenemos $z_n\a \bar{z}$.
Prueba. Voy a dar una breve prueba. Es por contradicción, y es una variante de la prueba del Lema 6.3.2. en Programación no Lineal: Teoría y Algoritmos, 3ª Edición, 2006, por Bazaara et al.
Así que supongamos que $z_n\a\bar{z}$, $z_n\en \theta(y_n)$, y supongamos $|z_n-\bar{z}|>\epsilon>0$ para todo $n\in I$ donde $I$ es algunas conjunto de índices. Dado que $X$ es compacto y $z_n\in X$, la secuencia de $\{z_n\}_I$ ha convergente larga $\{z_n\}_{I'}$, con límite de $z_0$ en $X$. Por supuesto, $|z_0-\bar{z}|\geq\epsilon>0$ y por tanto $z_0\neq \bar{z}$. Además, por $\{y_n\}_{I'}$ se tiene que $$f(z_n,y_n)\leq f(\bar{z},y_n)\etiqueta{2}$$ desde $z_n$ minimiza por $y_n$ pero $\bar{z}$ no minimizar por $y_n$ necesariamente.
Ahora, el uso de la continuidad de $f$ en ambos de sus argumentos, y tomar el límite de sobre $I'$ en $(2)$, para conseguir que $$f(z_0,\bar{y})\leq f(\bar{z},\bar{y})\etiqueta{3}.$$ Pero como $z_0\neq\bar{z}$ y $\bar{z}$ minimizado $f(x,\bar{y})$, se sigue que $z_0$ es otro, distinto minimizer de $f(x,\bar{y})$ más de $X$. Por lo tanto, $\theta(\bar{y})$ no es un singleton. Pero esto contradice el hecho de que $\theta(\bar{y})$ era un singleton. QED.
Referencia sugerencia. El Teorema de la Máxima. Este es el teorema más general y "establece las condiciones para la continuidad de una función optimizada y el conjunto de sus maximizers como un parámetro de cambios". Implica el concepto de una función de varios valores (tenga en cuenta que la asunción de la argmin ser un singleton simplificado la prueba del teorema anterior).
