Comparativo de la dinámica en la prospectiva de la ecuación

Question

He de configurar y resolver un problema de optimización con el tiempo $t$ endógeno de las variables de estado, $\alpha_t$ y $\beta_t$ y la elección de la variable $s_t$. Después de la manipulación, el primer orden de condición para $s_t$ es de la forma:

$f(\alpha_t,\beta_t,s_t,s_{t+1})=0$

donde $f(\cdot)$ es un no-lineales y contiene las expectativas sobre futuras realizaciones de la crisis. En algunas especificaciones, no hay solución explícita para $s_t$.

Quiero derivar comprobable implicaciones de la teoría subyacente. En particular, estoy interesado en los signos de:

$\dfrac{\partial s_t}{\parcial \alpha_t}$ y $\dfrac{\partial s_t}{\parcial \beta_t}$.

¿Cómo debo tratar a $s_{t+1}$, cuando me tome el total de derivados? Debo tratarla como una constante, o incluir? ¿Cuál es la justificación? Si hay más elaboración es necesario, hágamelo saber y voy a ser feliz a explicar con más detalle el problema.

Gracias!

Answer 1

Trate de escribir su ecuación explícita con una esperanza condicional operador:

$$ \mathbb{E}_t f(\alpha_t, \beta_t, s_t, s_{t+1}) = 0$$

Espero que esto aclara las cosas. Usted puede tomar el total de derivados como normalmente lo haría con cualquier función, sin embargo $s_{t+1}$ es una variable aleatoria, ya que no está predeterminado. En última instancia, usted está considerando todos los casos de $s_{t+1}$ ponderados por su probabilidad.

Desde $\mathbb{E}_t$ integra más de choques, se puede diferenciar bajo el signo integral por Leibniz con la integración de la regla.

Answer 2

El momento en que un desconocido e imposible de conocer de antemano el futuro la cantidad entra en una solución óptima, no tenemos otra opción que insertar en su lugar a algunos de estimación de la misma. El más ampliamente utilizado estimación de tales (pero no el único) es la esperanza condicional. Condicional en $t$, todo, excepto $s_{t+1}$, será tratada como una constante. Ya que no sabemos exactamente cómo $s_{t+1}$ entra en el $f$-función, se escribe en el resumen de la notación como una función:

$$E\big[f(\alpha_t,\beta_t,s_t,h(s_{t+1},...)\mediados de los t\big]=0 \Rightarrow f(\alpha_t,\beta_t,s_t,E[h(s_{t+1},...)\mid t]) =0$$

Recuerde también que la esperanza condicional es una funcióny no una constante (como es el incondicional valor esperado).

Dado que esta es una solución, para el estudio de estática comparativa que uno tiene que usar el teorema de la función implícita que establece que, a partir de la solución,

$$\frac{{\rm d}s_t}{{\rm d}\alpha_t} = -\frac {\partial f(\alpha_t,\beta_t,s_t,E[h(s_{t+1},...)\mid t]) / \partial \alpha_t}{\partial f(\alpha_t,\beta_t,s_t,E[h(s_{t+1},...)\mid t]) / \partial s_t}$$

La derivada parcial símbolo en el lado derecho se transmite el mensaje de que en el numerador, $s_t$ es no ser diferenciado con respecto a los $\alpha_t$, y en el denominador, $\alpha_t$ es no ser diferenciado con respecto a $s_t$ (y lo mismo vale con respecto a $\beta_t$).
Pero $E[h(s_{t+1},...)\mid t]$ es juego limpio en ambos casos. ¿Qué será de las operaciones $\parcial E[h(s_{t+1},...)\mid t] /\partial \alpha_t$ y $\parcial E[h(s_{t+1},...)\mid t] /\partial s_t$ rendimiento, dependerá, por supuesto, en lo que es la verdadera expresión de la esperanza condicional.