Por lo que puedo decir, no puedes reclamar tu NIC del Reino Unido en Nueva Zelanda.
El tratado fiscal pertinente se refiere a la La página del HMRC aquí y el artículo 2 es muy claro acerca de los impuestos del Reino Unido que están cubiertos: impuesto sobre la renta, impuesto sobre las ganancias de capital, impuesto de sociedades e impuesto sobre los ingresos del petróleo.
Hay una nota al final del artículo 2 que dice
La presente Convención se aplicará también a todos los impuestos similares que son impuestos por cualquiera de los Estados contratantes después de la fecha de la firma de la presente Convención además de, o en lugar de, los impuestos existentes.
y me pregunté brevemente si el seguro nacional podría considerarse idéntico o sustancialmente similar al impuesto sobre la renta, pero el seguro nacional se impuso en 1911, mucho antes de la fecha de la convención fiscal de Nueva Zelandia (1983).
Por otra parte, mientras esté aquí, podría "contratar" la SSP (Segunda Pensión Estatal), lo que significa que efectivamente hace pagos más bajos de la NI. Sin embargo, esto dependerá de la naturaleza del plan de pensiones de su empleador y usted debe consultar con ellos y/o un asesor financiero sobre esto. Más información sobre la contratación está disponible en Wikipedia aunque observe el punto más abajo de la página en el que la segunda forma de subcontratación ha sido descontinuada desde 2012, por lo que sólo la primera forma sigue siendo aplicable.