Matemática de las teorías de la (sub)-óptima de estrategias de negociación en "idealizada" de la asunción - el precio es por azar conoce a comerciante

Question

La pregunta NO es acerca de la negociación real, pero sobre modelos matemáticos simplificados para el comercio.

Uno de los principales problemas en la negociación es que los precios de los activos no están correctamente descrito por algunos procesos aleatorios.

Consideremos idealizada de la situación asumir ese activo en el precio de $p(t)$ es dado por algún azar del proceso, el cual es conocido comerciante. Que a grandes rasgos significa que las probabilidades de todos los eventos $p(t_1) = p_1, p(t_2) = p_2, ..., p(t_k) = p_k$ se sabe comerciante. Tanto para el tiempo $t$ en el futuro o en el pasado.

¿Cuáles son algunos resultados teóricos sobre la óptima o (sub)-óptima de estrategias de negociación en esta idealizada de configuración? ¿Cuáles son algunos resultados teóricos en los estimados de ganancias ? (I. e. algunos límites - no podemos ganar más de ...)

Si nada de eso se sabe - ¿cuál es la razón - es difícil o "nadie necesita"?

Por "óptima" me refiero a la siguiente. Por supuesto, intuitivamente esto significa que el comerciante va a obtener el mayor beneficio, pero aquí es la sutileza, nuestro precio $p(t)$ es una variable aleatoria, por lo que el beneficio es también una variable aleatoria, por lo que se deberá especificar lo que significa que "la mayoría".

Puede ser $E(p(T))$ (valor promedio de unos $t=T$), o puede ser de $\frac{E(p(t))}{std(p(t))}$ - o lo que sea, cualquier matemáticamente correctas resultado es muy bienvenida.

Permítanme subrayar que desde mi punto de vista, esta es la pregunta matemáticamente bien definido, y yo esperaría que muchos matemáticamente riguroso teoremas (y/o conjeturas) debe ser conocido en esta para los expertos. Si alguien pone en duda que la pregunta es matemáticamente riguroso, por favor, vamos a discutir en los comentarios.

Podría ser que este tipo de resultados conocidos sólo por algún tipo especial de procesos al azar - por ejemplo, el movimiento Browniano, o lo que sea, cualquier información es bienvenida, yo soy novato en el campo.

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Por ejemplo, supongamos que nuestro proceso aleatorio es en realidad determinista del proceso - es decir, sólo una trayectoria de $p(t) = p_0(t)$ tiene la probabilidad de 1$$, el resto de las trayectorias ha probabilidad $0$. , Entonces la mejor estrategia de negociación es comprar en los locales de mínimos y vender en máximos locales; la ganancia es la variación de $p_0(t)$.

Bien, esto es, por supuesto, sobre-simplificación de la situación, pero creo que es para demostrar que existen matemático riguroso de los resultados.

También este ejemplo da algunos límite máximo posible beneficio medio para general proceso aleatorio - debemos sumar sobre todas las posibles trayectorias de sus variaciones con el peso de la probabilidad de la trayectoria (a'la Feynmann de la ruta integral).

Esta obligado no debe ser agudo - parece ser que es imposible de lograr en general, es correcto? ¿Cuáles son los más nítida de los límites?

Answer 1

En la petición, aquí están mis dos centavos. Supongamos que el precio sigue a la dinámica de la $$ \begin{casos} \mathbf z_{k+1} &= F(\mathbf z_k,\mathbf i_k,\mathbf w_k), \\ \mathbf i_{k+1} &= G(\mathbf i_k, \mathbf w_k) \end{casos} $$ donde $\mathbf z_k$ es un precio de activos negociados en el momento en que $k$, $\mathbf i_k$ es el valor de los parámetros del modelo (a la deriva, la volatilidad, el estado de la economía, etc.) y $\mathbf w_k$ es un proceso de ruido. Los parámetros y el ruido puede ser infinito-dimensional (por ejemplo, los parámetros pueden ser de toda la historia), la única restricción que ponemos aquí es que ellos pertenecen a algunos espacios de Borel. El precio de proceso de $\mathbf z_k$ sin embargo, tiene que ser de 1-dimensional, con valores en $\Bbb R$.

Ahora, vamos a suponer que en cualquier momento el comerciante

1. cualquiera puede cerrar la posición si el que ya está abierto

2. si no hay ninguna posición abierta, se puede abrir en la cantidad de dinero que tiene

Deje que $\mathbf x_k$ es el comerciante de la capital, y dejar que $\mathbf u_k$ ser el volumen de la posición de abierto (cero si la posición es cerrada). Como resultado de ello, la dinámica de la capital $$ \mathbf x_{k+1} = \mathbf x_k + \rho\mathbf u_k(\mathbf z_{k+1} - \mathbf z_k), $$ donde $\rho$ es el apalancamiento. El espacio de estado para el comerciante es, por tanto, $$ \underbrace{\Bbb R}_{\text{para }\mathbf x_k}\times \underbrace{\Bbb R}_{\text{para }\mathbf u_k} $$ y el control del espacio está dada por $U = [0,\infty)$ con admisible de la estructura de control de ser dependiente del estado: $$ \mathbf u_{k+1} \in \begin{casos} [0,x],&\text{ si } \mathbf u_k = 0, \\ \{0\},&\text{ si }\mathbf u_k > 0. \end{casos} $$
Su criterio de rendimiento es un capital final para algunos fija un horizonte de tiempo $T$, es decir $\mathbf x_T$.

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Establecido en los términos de la clásica de programación dinámica estocástica, usted tiene los siguientes Markov proceso de control de $(S,U,\{U(s)\}_{s\in S},f,c)$ donde el estado último espacio es $$ S = \underbrace{\Bbb R}_{\text{para }\mathbf x_k}\times \underbrace{\Bbb R}_{\text{para }\mathbf u_k} \times \underbrace{\Bbb R}_{\text{para }\mathbf z_k} \times \underbrace{\Bbb I}_{\text{para }\mathbf i_k}, $$ el espacio de control es de $U = [0,\infty)$, la estructura de control es $$ U(x,u,z,i) = \begin{casos} [0,x],&\text{ si } u = 0, \\ \{0\},&\text{ si } u > 0. \end{casos} $$
y la dinámica de $\mathbf s_{k+1} = f(\mathbf s_k,\mathbf w_k)$ en detalles de la mirada como $$ \begin{casos} \mathbf z_{k+1} &= F(\mathbf z_k,\mathbf i_k,\mathbf w_k), \\ \mathbf x_{k+1} &= \mathbf x_k + \rho\mathbf u_k(\mathbf z_{k+1} - \mathbf z_k), \\ \mathbf i_{k+1} &= G(\mathbf i_k, \mathbf w_k). \end{casos} $$ Finalmente, el costo es de $c_t(s) = 0$ y el costo final es de $c_T(s) = x$, donde $s = (x,u,z,i)$ es un vector de estado. La mejor solución para estos problemas es dada por la programación dinámica, y puede ser consultado en el libro de H.-Lerma y Lassaire en Control de Procesos de Markov.

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P. S. Este es un modelo en el que sólo puede comerciar 1 del activo, sólo las posiciones largas están permitidas, y se puede cerrar la posición, sólo (en lugar de una parte de ella). Sin embargo, las extensiones son más bien trivial y se relacionan principalmente con el total admisible de la estructura de control (que los controles están disponibles en el cual los estados).