Definición de Absoluta Aversión al Riesgo

Question

En su artículo de la Wikipedia, absoluta aversión al riesgo se define como $ARA = -\frac{u"(c)}{u'(c)}$. Sin embargo, he alternativamente visto absoluta aversión al riesgo se define como la mitad de la disminución en el consumo que un inversionista está dispuesto a aceptar para evitar una apuesta de $\varepsilon$, donde $E[\varepsilon] = 0$, $E[\varepsilon^2] = 1$ y $\varepsilon$ es independiente de consumo: $$ U(C - ARA/2) \equiv E[U(C + \varepsilon) \mid C]. $$ El uso de esta última definición, ¿cómo puedo demostrar que $ARA = -U"(C) / U'(C)$?

Answer 1

@Alecos la respuesta es excelente. Finalidades pedagógicas, voy a reformular algunos de los pasos.

Queremos demostrar que $ARA = -u"(c)/u'(c)$ dado que ARA está definido de tal forma que $u(c - ARA/2) = E[u(c + \varepsilon) \mid c]$. Así, después de Alecos respuesta, tomar un 2º orden expansión de Taylor para obtener \begin{ecuación} E[u(c + \varepsilon)\mid c] \aprox u(c) + \frac 12 u"(c). \end{ecuación} Entonces, por definición, $u(c - ARA/2) \aprox u(c) + \frac 12 u"(c)$. Ahora, toma de 1er orden expansión en series de Taylor de el lado izquierdo de esta expresión, vemos que \begin{ecuación} u(c - ARA/2) \aprox u(c) - u'(c) \cdot \frac{ARA}{2}, \end{ecuación} lo que implica que \begin{align} u(c) - u'(c) \cdot \frac{ARA}{2} &\aprox u(c) + \frac 12 u"(c) \\ ARA &\aprox -\frac{u"(c)}{u'(c)}. \end{align}

Answer 2

Set $y \equiv c+\varepsilon$. Así $y$ representa cambiado el consumo de todo y "cerrar" para un determinado nivel $c$. Tomar un 2º orden expansión de Taylor de la función $E[u(y)\mid c]$ todo $c$, el cual es tratado como fijo ya que en la condición de que :

$$E[u(y)\mid c] \aprox E[u(c)\mid c] + E[u'(c)(y-c)\mid c] + E[\frac12u"(c)(y-c)^2\mid c]$$

Pero $y-c = \varepsilon$
así

$$E[u(y)\mid c] \aprox E[u(c)\mid c] + E[u'(c)\varepsilon\mid c] + E[\frac12u"(c)\varepsilon^2\mid c]$$

Debido a los condicionamientos y de la independencia de $\varepsilon$ de $c$ el valor esperado distribuye y aplica solo a $\varepsilon$:

$$E[u(y)] \aprox u(c) + u'(c)E[\varepsilon] + \frac12u"(c)E[\varepsilon^2]$$

Desde que asumimos

$$E[\varepsilon] = 0 \Rightarrow {\rm Var}(\varepsilon)=E[\varepsilon^2] =1$$ obtenemos

$$E[u(c+\varepsilon)] \aprox u(c) + \frac12u"(c) \etiqueta{1}$$

Ahora considere $u(c-\frac 12 ARA)$, con $ARA \equiv -\frac{u"(c)}{u'(c)}$, y tomar una de 1er orden expansión de Taylor en este caso, de nuevo alrededor de $c$:

$$u\a la izquierda(c-\frac 12 ARA\derecho) = u(c) + u'(c)\cdot (c- \frac 12 ARA - c) = u(c) - \frac 12 u'(c)\cdot ARA $$

Utilizando la definición de $ARA$ a sustituir obtenemos

$$u\a la izquierda(c-\frac 12 ARA\derecho) \aprox u(c) - \frac 12 u'(c)\cdot\left (-\frac{u"(c)}{u'(c)}\right)$$

$$\Rightarrow u\a la izquierda(c-\frac 12 ARA\derecho) \aprox u(c) + \frac 12 \cdot u"(c) \etiqueta{2}$$

Los lados derechos de las ecuaciones de $(1)$ y $(2)$ son iguales por lo tanto, aproximadamente, por lo que son de su mano izquierda lados o,

$$E[u(c+\varepsilon) \mid c] \aprox u\a la izquierda(c-\frac 12 ARA\right)$$

que es válida siempre como $ARA$ se define de la manera que es. QED.

Si la varianza de la jugada no es la unidad, sino que $\sigma^2 \neq 1$, entonces el más general de la ecuación es

$$E[u(c+\varepsilon) \mid c] \aprox u\a la izquierda(c-\frac {\sigma^2}2 ARA\right)$$