¿Cómo calcular la expectativa de la integral de esta función aleatoria?

Question

Dejemos que $W_t$ sea un proceso wiener estándar y

$$Y_t=\int_{0}^{t}\frac{W_s}{(1+W_s^2)^2}ds$$

Si $W(t_0)=\sqrt{3}$ Entonces, ¿cómo podemos calcular $\mathbb{E}[Y(t_0)]$ ?

Es $\mathbb{E}[Y(t_0)]=0$ ?

Answer 1

1. Esta integral no es la integral de Ito. En efecto, $Y_t$ es un cambio de tiempo aleatorio con una tasa de cambio de tiempo $\frac{W_t}{1+W_t^2}.$ (Oksendal, sexta edición, página 147)

2. A veces este truco es útil. En efecto, ¡suponemos que vamos a resolver la integral de Riemann!

Dejemos que $$f''(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}$$ entonces $$f'(x)=\left(\frac{1}{1+x^2}\right)+c_1$$ y $$f(x)=\tan^{-1}(x)+c_1x+c_2$$ set $c_1=c_2=0$ Por aplicación del lema de Ito tenemos $$f(W_t)=f(W_0)+\int_{0}^{t}f'(W_s)dW_s+\frac{1}{2}\int_{0}^{t}f''(W_s)ds$$ por lo tanto $$\tan^{-1}(W_t)=\int_{0}^{t}\frac{1}{1+W_s^2}dW_s-\int_{0}^{t}\frac{W_s}{(1+W_s^2)^2}ds$$ En otras palabras $$\int_{0}^{t}\frac{W_s}{(1+W_s^2)^2}ds=\int_{0}^{t}\frac{1}{1+W_s^2}dW_s-\tan^{-1}(W_t)$$ así $$\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}\frac{W_s}{(1+W_s^2)^2}ds\right]=\underbrace{\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}\frac{1}{1+W_s^2}dW_s\right]}_{0}-\mathbb{E}[\tan^{-1}(W_t)]$$ como resultado $$\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t}\frac{W_s}{(1+W_s^2)^2}ds\right]=-\mathbb{E}[\tan^{-1}(W_t)]$$ Ahora, ponte $t=t_0$ $$\mathbb{E}\left[\int_{0}^{t_0}\frac{W_s}{(1+W_s^2)^2}ds\right]=-\mathbb{E}[\tan^{-1}(W_{t_0})]=-\mathbb{E}[\tan^{-1}(\sqrt{3})]=-\frac{\pi}{3}$$ finalmente

$$ \color{red}{\mathbb{E}[Y_{t_0}]=-\frac{\pi}{3}}$$