Esto es esencialmente una variación en la respuesta de denesp que requiere un poco menos supuestos.
Suponga que hay $l$ materias primas y $m$ agentes. Una asignación es entonces un punto en $\mathbb{R}^{lm}_+$. Si el total de la dotación es de $e\in\mathbb{R^l}_+$, una asignación es un punto en $\sum^{-1}(\{e\})$, donde $\sum:\mathbb{R}^{lm}_+\to\mathbb{R}^l$ es el continuo "suma de la función". Ya que esta función es continua y el conjunto $\{e\}\subseteq\mathbb{R}^l$ cerrada, el espacio de las asignaciones se cierra demasiado. También es claramente delimitado, de modo que el espacio de la asignación es compacto. Deje que $A\subseteq\mathbb{R}^{lm}_+$ ser el compacto no vacío del espacio de posibles asignaciones.
Definir la relación $\succeq$ en $Un$ que para las asignaciones de $x=(x_1,\ldots,x_m)$ y $y=(y_1,\ldots,y_m)$ tenemos que $x\succeq y$ si y sólo si $x_i\succeq_i y_i$ para cada agente i$$. Ahora $x^*\in A$ es una máxima de Pareto mejora de más de $x$ exactamente si $x^*\succeq x$ y no hay $ $ y\in A$ tal que $y\succeq x^*$, pero no $x^*\succeq y$.
Supongamos ahora que para todo $a\in\mathbb{R}^l_+$ y cada agente de $i$, el "débilmente-mejor-set" $\{b\in\mathbb{R}^l\mediados de b\succeq_i a\}$ es cerrado. Entonces el conjunto $A_x=\{y\in A\mid y\succeq x\}$ es cerrado y, como el subconjunto cerrado de un conjunto compacto, compacto. Nuestro problema se reduce a mostrar que existe un $\succeq$-elemento maximal $x^*\en A_x$.
Deje que $\succ$ ser el asimétrica parte de $\succeq$. Es transitivo y irreflexiva y por lo tanto acíclicos. También, la "parte superior" de $\succeq$ están cerradas y por lo tanto las secciones inferiores de $\succ$ abiertas. La existencia de un $\succ$-elemento maximal sigue a continuación, de lo que se refiere a veces como la de Walker-Bergstrom teorema (probada por primera vez por Sloss....). En aras de la exhaustividad, doy el fácil la prueba aquí.
Vamos a $L_z=\{y\en A_y\mid y\prec z\}$ ser el conjunto inferior de $\e$ a $z$. Asumir por el bien de la contradicción de que no hay $\succ$-elemento maximal en $A_x$. Entonces cada punto en $A_x$ está en unos $L_z$ con $z\in A_x$. También, el $L_z$ son relativamente abierto en el espacio compacto $A_x$. Por lo que $\{L_z\mediados de z\in A_x\}$ es una cubierta abierta de $A_x$ y, por compacidad, hay un conjunto finito de $F\subseteq A_x$ tal que $\{L_z\mediados de z\in F\}$ es todavía una cubierta abierta de $A_x$. En particular, para cada $z\in F$, hay algunos $z\in F$ tales que $z\in L_{z}$ o, de manera equivalente, $z'\e z$. Por lo que la relación $\e$ no tiene elemento maximal en el conjunto finito de $F$. Esto significa que no existe una secuencia infinita $\langle z_n\rangle$ tales que $z_{n+1}\succ z_n$ para todo $n$. Desde $\e$ es acíclico, la secuencia se compone de una infinidad de elementos distintos. Dado que $F$ es finito, esto es imposible.
