Econ Intuición de la inversa jacobiana en el sistema de demanda

Question

Consideremos el siguiente sistema de demanda lineal simple (en notación vectorial) con n productos diferentes

Demanda: $\quad\mathbf{q=B\left(a-p\right)}$

Demanda inversa: $\quad\mathbf{p=a-B^{-1}q}$

donde $\mathbf{p}$ es el vector de precios y $\mathbf{q}$ es el vector de cantidades suministradas. Los jacobianos de estas dos ecuaciones

$\dfrac{\partial\mathbf{q}}{\partial\mathbf{p}}=-\mathbf{B}\quad$ y $\quad\dfrac{\partial\mathbf{p}}{\partial\mathbf{q}}=-\mathbf{B}^{-1}$

le indican cómo reaccionan los precios ante un cambio en la cantidad suministrada y viceversa. Veamos un ejemplo:

$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc} \frac{4}{3} & -\frac{2}{3}\\ -\frac{2}{3} & \frac{4}{3} \end{array}\right]\quad$ para que $\quad\mathbf{B}^{-1}=\left[\begin{array}{cc} 1 & .5\\ .5 & 1 \end{array}\right]$

entonces es fácil ver que, para algún producto $i$ :

$\dfrac{\partial q_{i}}{\partial p_{i}}\neq\left(\dfrac{\partial p_{i}}{\partial q_{i}}\right)^{-1}$

Entiendo que eso es cierto matemáticamente y que generalmente será así, pero ¿qué significa en términos de intuición económica? ¿Por qué la curva de demanda del producto $i$ pendiente de forma diferente dependiendo de si pongo $q_{i}$ en el eje vertical y no en el horizontal?

Answer 1

Para el caso 2x2 considerado, escriba $$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc} b_{1,1} & b_{1,2}\\ b_{2,1} & b_{2,2} \end{array}\right].\quad$$

De ello se deduce que el elemento (1,1) en $B^{-1}$ viene dado por $\frac{b_{2,2}}{b_{1,1}b_{2,2}-b_{1,2}b_{2,1}}$ . Observe que $$\frac{\partial q_1(p_1,p_2)}{\partial p_1}=(\frac{\partial p_1(q_1,q_2)}{\partial q_1 })^{-1}$$ implica $$b_{1,1}=(\frac{b_{2,2}}{b_{1,1}b_{2,2}-b_{1,2}b_{2,1}})^{-1},$$ que sólo puede producirse si $b_{1,2}=0$ , $b_{2,1}=0,$ o ambos.

Para comprender mejor la intuición de este resultado, consideremos la función de demanda $q_1(p_1,p_2).$ Supongamos que nos interesa la curva de demanda del bien 1 cuando $p_2=\tilde{p_2}$ que es un gráfico de la función $q_1(p_1,\tilde{p_2})$ con $p_1$ en el eje vertical y $q_1$ en el eje horizontal. La pendiente de esta curva de demanda viene dada por $(\frac{\partial q_1(p_1,p_2)}{\partial p_1})^{-1}=-\frac{1}{b_{1,1}}$ .

Consideremos ahora la demanda inversa del bien 1, que nos da la máxima disposición marginal a pagar por el bien 1 condicionada a las cantidades de bien 1 y bien 2. Si queremos trazar esta curva de demanda, debemos fijar la cantidad del bien 2, digamos en $x_2=\tilde{x_2}.$ Supongamos que queremos que esta curva de demanda se corresponda con la curva de demanda que hemos trazado para $q_1(p_1,\tilde{p_2})$ que significa $\tilde{x_2}$ debe ser la cantidad demandada a $\tilde{p_2}$ . Sin embargo, para hallar la cantidad demandada del bien 2 a $\tilde{p_2}$ debemos condicionar el precio del bien 1. Del mismo modo, para hallar la disposición marginal a pagar del bien 2 en la cantidad $\tilde{x_2}$ debemos condicionar a la cantidad del bien 1. Las dos afirmaciones anteriores no tienen sentido, ya que estamos intentando trazar la relación entre $x_1$ y $p_1$ por lo que no podemos arreglar ninguno de ellos.

La intuición básica es que cuando invertimos $B$ para resolver las demandas inversas, estamos teniendo en cuenta los efectos de los precios cruzados al escribir nuestras funciones de disposición marginal a pagar (demanda inversa). En términos económicos, las dos expresiones siguientes no son iguales a menos que los efectos de los precios cruzados sean nulos:

1. Efecto marginal de la cantidad del bien 1 sobre la disposición a pagar por el bien 1, condicionado a la cantidad del bien 2.
2. Inverso del efecto marginal del precio del bien 1 sobre la cantidad demandada del bien 1, condicionado al precio del bien 2.