El Método de solución para el Infinito Horizonte Problema de Maximización de

Question

La divulgación completa: este problema se parte de un examen final que ninguno de nuestra clase realmente podría resolver definitivamente. A continuación la forma general de una función de utilidad se trabajó con la que voy a tratar de replicar mi trabajo. Cualquier ayuda sobre el método de solución sería bueno; específicamente, parece de Euler ecuaciones/estados estacionarios sería mejor para esta particular forma de pregunta en lugar de utilizar un Botones, pero ninguna orientación sobre el método que se agradece.

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Supongamos que un agente representante es la solución de

$$ \begin{align} & \max_{\left\{ c_t, w_t \derecho\}^\infty_{t=0}} \sum_{t=0}^\infty \beta^t u(c_t) \\ & \text{s.t.} \\ & w_t = Rw_{t-1} - c_t \\ & c_t \geq 0 \\ & w_t \geq 0 \\ \end{align} $$

Para todos $t$, y $w_{-1}$. Además, $0 < \beta < 1$, $R > 1$.

$c_t$ es el consumo en el tiempo $t$, y $w_t$ es la riqueza al final del tiempo $t$. $\beta$ es un factor de descuento.

Vamos $$u(c_t) = \phi \mathrm{e}^ {\theta c_t^p}$$ donde $\phi \theta, p$ son parámetros constantes.

Mi primera pregunta es ¿qué valores de las constantes $\phi \theta$ y $p$ son necesarios para asegurarse de que $u(c_t)$ son estrictamente creciente y estrictamente cóncava en $c_t$, para todos los valores de $c_t$. Más tarde en el problema nos pide asumir esas condiciones anteriores.

Así que tomando la primera y segunda derivada de la $u(c_t)$ nos da:

$$ \begin{align} u'(c_t) & = \phi \theta p c_t^{p-1}\mathrm{e}^ {\theta c_t^p} \\ u"(c_t) & = \phi \theta p(p-1) c_t^{p-2}\mathrm{e}^ {\theta c_t^p} + \phi \theta ^2 r^2 c_t^{(p-1)^2}\mathrm{e}^ {\theta c_t^p} \\ & = \phi \theta p c_t^{p-1} \mathrm{e}^{\theta c_t^p}\left[ \frac{p-1}{c_t} + \theta p c_t^{p-1} \derecho] \\ \end{align}$$

Por lo que $u'(c_t) > 0$ a fin de satisfacer las estrictamente creciente restricción. $u"(c_t) < 0$ debe ser verdadera para que la estricta concavidad. Me sugirió que $\phi \theta > 0$ y $p = 1$ para que esto sea cierto. No estoy seguro de cómo esta fea segunda derivada puede ser simplificado para encontrar las condiciones adecuadas.

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Después de hacer esto, hemos tenido que expresar Bellman ecuación y la ecuación de Euler para el problema.

Botones:

$$\boxed{V(w) = \max_\tilde{w} \left[ \phi \mathrm{e}^{\theta (Rw - \tilde{w})^p} + \beta V(\tilde{w})\right]}$$

Euler:

$$\boxed{\sum_{t=0}^\infty \beta^t (Rw_{t-1} - w_t)^p = \cdots \beta^t (Rw_{t-1} - w_t)^p + \beta^{t+1}(Rw_t - w_{t+1})^p + \cdots }$$

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Por último, tenemos que decir que $\beta \cdot R = 1$. A continuación, se pide encontrar el valor de la función óptima y reglas de decisión para nuestra elección de la variable(s). He usado los Botones para intentar resolver el problema, donde supuse que la forma de la función de el valor de la función:

$$V(\tilde{w}) = F \mathrm{e}^{M\tilde{w}} + H$$

donde $F, M, H$ son coeficientes indeterminados. Después de la sustitución de esta en los Botones y poner en argumentos adecuados, tomando la derivada para obtener una óptima elección, la sustitución de las decisiones óptimas de nuevo en el Bellman, me quedé atrapado tratando de resolver por $F, M, H$ de una manera que me daría un consumo moderado al final del proceso.

El pequeño truco con $\beta R = 1$ se supone que el consumo constante a través de todos los períodos, por lo que supongo que el punto de obtener la ecuación de Euler es así que podemos resolver utilizando constante de los estados y de hacer la vida más fácil, pero a mi el álgebra no ha transmitidas por cualquier fruta que sea lo que parece.

Para el método de programación dinámica, yo he puesto la forma funcional de la función de valor correctamente? Si no, ¿cuál debería ser el de adivinar? Y por último, ¿cómo es que todo el desagradable álgebra trabajo?

Para los estados estacionarios método, lo que hace el camino de la riqueza parece? Hace terminan constante así? (Supongo que la pregunta se aplica para los Botones de enfoque.)

(Si es pedagógicamente interesante o útil, o si usted no confía en que no estoy pidiendo ayuda con la tarea, puedo mostrar mi trabajo para ambos métodos).

Por favor, hágamelo saber si algo no está claro.

Answer 1

Su primera pregunta (en relación con las restricciones sobre los parámetros) pueden ser respondidas a través de la primera y segunda derivada en el análisis. Con el fin de satisfacer estrictamente creciente, necesitamos $u'>0$ y para satisfacer estrictamente cóncava, necesitamos $u"<0$. ¿Esto qué significa realmente?

$$u'(\frac{}{})=\phi p\theta c_t^{p-1}e^{\theta c_t^p}>0$$ Ya sabemos que $c_t^{p-1}e^{\theta c_t^p}>0$ automáticamente, esto se reduce a: $$\phi p\theta>0$$ Siguiente: $$u"(\frac{}{})=\big[\phi p\theta (p-1) c_t^{p-2}+\phi p\theta c_t^{p-1}\big]e^{\theta c_t^p}<0$$ Porque sabemos que $e^{\theta c_t^p}>0$ y $\phi p\theta c_t^{p-1}>0$, esto quiere decir que: $$\phi p\theta (p-1)c_t^{p-2}<0$$

En virtud de $(1)$ y el hecho de que $c_t^{p-2}>0$, sabemos que: $$p-1<0$$ o $$p<1$$ Ahora, lo que podemos hacer es pensar críticamente. Si $p=0$, a continuación, la utilidad no cambia cuando el consumo de cambios. Esto es claramente falso. Si $p<0$, a continuación, la utilidad disminuye cuando aumenta el consumo que también parece incorrecto. Por lo tanto, nuestra condición de $p$ es: $$0<p<1$$ Ahora, ¿qué significa esto para $\phi \;\text{y}\; \theta$? Esto significa que: $$ya sea\quad\phi \theta>0\o quad\quad \phi\theta<0$$ Ahora, esto se parece a un típico exponencial de la función de utilidad, así que sabemos que en estos casos, tanto el coeficiente para el exponente y el coeficiente en el poder va a ser negativo (no voy a molestar a probar esto como estoy seguro de que está en algún lugar en la literatura). Por lo tanto, tenemos las tres condiciones siguientes para los parámetros: $$0<p<1$$ $$\theta <0$$ $$\phi <0$$

Ahora, el siguiente paso es mostrar que de hecho estamos de consumo constante. Tomando nuestra Ecuación de Euler enfoque, sustituimos en la restricción y tomar dos términos en la suma, $$...+\beta^t\phi e^{\theta (Rw_{t-1}-w_t)^p}+\beta^{t+1}\phi e^{\theta(Rw_t-w_{t+1})^p}+...$$ La diferenciación de w.r.t $w_t$ y haciendo algunos simplificando, obtenemos: $$(Rw_{t-1}-w_t)^{p-1}e^{\theta(Rw_{t-1}-w_t)^p}=\beta R(Rw_t-w_{t+1})^{p-1}e^{\theta(Rw_t-w_{t+1})^p}$$ Sustituyendo el consumo de nuevo, obtenemos: $$c_t^{p-1}e^{\theta c_t^p}=\beta Rc_{t+1}^{p-1}e^{\theta c_{t+1}^p}$$ Ahora, ya que se especifica que $\beta R=1$ en el problema, podemos ver que la única forma de que esta igualdad tiene es que si $c_t=c_{t+1}=c^\estrella$

¿Qué significa esto para la riqueza? Será la riqueza también ser constante? Bueno, vamos a realizar un experimento de pensamiento, y supongamos que no. Supongamos que la riqueza aumenta cada período ($w_{t+1}>w_t\;\forall t$). Esto implica que a medida que $t\rightarrow \infty$, vamos a ver la riqueza crecer para ser infinita, lo cual es un desperdicio y no satisface la condición de transversalidad. Ahora supongamos que la riqueza es la disminución de ($w_{t+1}<w_t\;\forall t$). Podemos ver claramente que, finalmente, no vamos a tener suficiente dinero para mantener constante el consumo. Por lo tanto, podemos ver que $w_t=w_{t+1}=w^\estrella de$. Ahora, ¿cuáles son las relaciones entre estos dos? Bien, volviendo a la condición de la riqueza, podemos ver $$w^\estrella=Rw^\estrellas-c^\estrella$$ Reordenando, obtenemos: $$c^\estrella=(R-1)w^\estrella$$

Porque hemos estado estacionario de la riqueza, sabemos que $w^\estrella=w_0$

Ahora, sabiendo que hemos estado estacionario consumo, sabemos que nuestra función de utilidad será el mismo valor para cada período (con descuento por $\beta$). Así que nuestra función de valor, simplemente se convierte en:

$$V(w)=\frac{\phi e^{((R-1)w_0)^p}}{1-\beta}$$

Por lo tanto, no necesitamos usar el método de coeficientes indeterminados para encontrar el valor de la función.

Answer 2

Tu primera pregunta, si es literalmente correcta, es fácil:

La única manera para $u'$ a ser positivo para c=0 para p=1. si p =1 entonces el signo($\phi$)=signo($\theta$) para que el producto es positivo. Pero, desde $exp()>0$ y $p=1$, el primer término de la $u"$ cancela y la única forma de u" a ser negativo es de $\phi$ a ser negativo. Por lo tanto $\theta<0$ demasiado. Así que las condiciones son $\phi<0$, $\theta<0$ y $p=1$.

Su segunda pregunta parece que debería tener una respuesta sencilla, y también:

Parece que si $\beta R=1$, a continuación, el consumo debe ser constante para siempre, lo que sugiere que el agente consume $(R-1)W_0$ de cada período.

El punto de escribir la ecuación de Euler es conectar un periodo al siguiente, no tanto para escribir la ecuación de bellman de forma no recursiva. Por lo tanto, si usted hacer eso, entonces usted tiene que un aumento en el consumo de hoy en día aumenta la utilidad por $U'(RW-\tilde W)$ y disminuye la del próximo período utilidad por $R\beta U'(R\tilde W-\tilde {\tilde W})$. Así que de nuevo esto nos permite concluir que $R\tilde W-\tilde{\tilde W}=R W-\tilde W$, i..e que el consumo es constante.

Así que, ahora que sabemos que el consumo es constante, podemos decir si es $(R-1)W_0$ o no? Si el consumo en el periodo 1 fueron superiores a lo que a continuación, el consumo tendría que ser inferior a la que en algún momento porque $W_1<W_0$ y por lo que la única manera de mantener el consumo alto es agotar el stock de capital W. Si el consumo fueron constantes pero inferior a $(R-1)W_0$ el agente de acumular activos para siempre, pero un consumo constante de $(R-1)W_0$ proporcionaría mayor utilidad. Por lo tanto , usted puede estar seguro de que la constante $(R-1)W_0$ es el óptimo valor de consumo.

Answer 3

Ok, primero trate de su primera pregunta.
De $u'>0\Rightarrow \phi\theta p>0 \Rightarrow \phi\theta, p\ne 0$.
De $u"<0\Leftrightarrow \phi \theta p c_t^{p-1}\exp(\theta c_t^p)(p-1)c_t^{-1}+\phi \theta p c_t^{p-1}c_t^{p-1}\exp(\theta c_t^p)c_t^{-1}p\theta<0\Leftrightarrow \phi \theta p c_t^{p-1}\exp(\theta c_t^p)(p-1)c_t^{-1}+\phi \theta p c_t^{p-1}c_t^{p-1}\exp(\theta c_t^p)c_t^{-1}p\theta<0 \Leftrightarrow \phi \theta p (p-1)+\phi \theta p c_t^{p-1}p\theta<0$
A partir de aquí, se establecen los casos.
1. $(p<1 \wedge \phi < 0) \wedge (p=-\gamma\theta)$ con $\gamma\in \mathbb{R}_{++}$
2. $(p<1 \wedge \phi >0) \Rightarrow \left(\frac{1-p}{\theta p}\derecho)^{\frac{1}{p-1}}>c_t \Rightarrow \theta p >0 $
3. $(p=1 \wedge \phi < 0 \wedge \theta<0)$
4. $(p=1 \wedge \phi > 0 $ (no es bueno)
5. $(p>1 \wedge \phi <0) \Rightarrow \theta>0$
6. $(p>1 \wedge \phi >0) \Rightarrow u">0$ (no es bueno)

Así que se puede obtener a mantener las condiciones de 1-3+5.
[Va a volver cuando tengo tiempo]

Euler $$\beta R u'_{t+1}=u'_t$$ (multiperiod de Lagrange, FOC wrt $c_t,c_{t+1},w_t$, recibe $\lambda_t=R\lambda_{t+1}$, dividir los pabellones de conveniencia wrt $c$s, y el sustituto de la $\lambda$s $\Rightarrow$ Euler. Al menos eso sería lo que haría yo para hacerlo.

[Bellman tendría que conseguir mis notas y estoy aquí sólo para posponer las cosas y no terminar un ensayo. Voy a estar de vuelta]