Es un modelo simplificado. Supongamos que $U_t$ es una de las variables aleatorias sujeto a la Lognormal($x_1$, $z_1^2$)de distribución. $V_t$ es una de las variables aleatorias sujeto a la Lognormal($x_2$, $z_2^2$)de distribución. Supongo que son independientes aquí. La rentabilidad del calor de la tasa ligada derivados es de $\max(U_T - V_T, 0)$. Cómo el precio de esta opción? Es una integración cosas.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto podría ser una sorpresa para usted, usted puede evaluar la opción de uso de Black Scholes.
El concepto clave es el de cambiar su numéraire de dólares a los activos asociados con $V$. El $V$ en su pago de $\max(U_t-V_t,0)$ efectivamente se sustituye por una constante, el par hacia adelante de activos $V$ al vencimiento $t$.
Desde $U_t$ y $V_t$ son independientes, se puede parametrizar ellos por dos normal estándar variables aleatorias $\eta_1$, $\eta_2$, con una media de $0$ y estándar de derivación $1$:
$$U_t = e^{x_1 + z_1 \eta_1}\quad\text{ y }\quad V_t = e^{x_2 + z_2 \eta_2}$$
Vamos $(\cdots)^{+}$ representa la función $\max(\cdots,0)$, el valor futuro de la opción está dada por la integral:
$$\begin{align}\text{F. V.} = & \int ( U_t - V_t )^{+} \exp( -\frac{\eta_1^2 + \eta_2^2}{2}) \frac{d\eta_1 d\eta_2}{2\pi}\\ = &\int ( e^{x_1 + z_1 \eta_1} - e^{x_2 + z_2 \eta_2} )^{+} \exp( -\frac{\eta_1^2 + \eta_2^2}{2}) \frac{d\eta_1 d\eta_2}{2\pi}\\ = &\int ( e^{x_1 + ( z_1 \eta_1 - z_2 \eta_2 ) } - e^{x_2} )^{+} \exp( z_2\eta_2 -\frac{\eta_1^2 + \eta_2^2}{2}) \frac{d\eta_1 d\eta_2}{2\pi}\etiqueta{*1} \end{align}$$
Vamos $a$z = \sqrt{z_1^2+z_2^2}\quad\text{ y }\quad\begin{casos}u = \frac{z_1\eta_1 - z_2\eta_2}{z}\\ \\ v = \frac{z_2\eta_1 + z_1\eta_2}{z}\end{casos} \Longleftrightarrow \begin{casos}\eta_1 = \frac{z_1 u + z_2 v}{z}\\ \\ \eta_2 = \frac{z_1 v - z_2 u }{z}\end{casos} $$
Es fácil de comprobar:
$$ u^2 + v^2 = \eta_1^2 + \eta_2^2 \quad\text{ y }\quad du dv = d\eta_1 d\eta_2$$
Vamos a $U_F = e^{x_1 + \frac{z_1^2}{2}}$ y $V_F = e^{x_2 + \frac{z_2^2}{2}}$ se par delante de activos $U$ y $V$ al vencimiento $t$. Podemos reescribir $(*1)$ como: $$ \begin{align} &\int ( e^{x_1 + z u } - e^{x_2} )^{+} \exp\left( \frac{z_2(z_1 v - z_2 u)}{z} -\frac{u^2 + v^2}{2}\right) \frac{du dv}{2\pi}\\ = & \int ( e^{x_1 + z u } - e^{x_2} )^{+} \exp\left( \frac{z_2^2}{2}-\frac{(u + (z_2^2/z))^2 + ( v - (z_1z_2/z))^2}{2}\right) \frac{du dv}{2\pi}\\ = & \int ( e^{\tilde{x}_1 + z \tilde{u}} - e^{\tilde{x}_2} )^{+} e^{-\frac{\tilde{u}^2}{2}} \frac{d\tilde{u}}{\sqrt{2\pi}} \quad\text{ donde } \begin{casos} \tilde{u}\; = u + (z_2^2/z)\\ \tilde{x}_1 = x_1 - z \frac{z_2^2}{z} + \frac{z_2^2}{2} = \log U_F - \frac{z^2}{2}\\ \tilde{x}_2 = x_2 + \frac{z_2^2}{2} = \log V_F \end{casos}\end{align}$$ Como resultado, tenemos: $$\text{F. V.} = \int ( U_F\,e^{z\tilde{u} - \frac{z^2}{2}} - V_F )^{+} e^{-\frac{\tilde{u}^2}{2}} \frac{d\tilde{u}}{\sqrt{2\pi}}\etiqueta{*2}$$
Esto no es nada, pero el valor futuro de una opción call con strike $V_F$ en un activo con un par adelante $U_F$ y estándar de derivación a $z$ en la madurez. Usted puede terminar la integral el uso de Black Scholes.
Si $U_t$ y $V_t$ no son independientes el uno al otro, usted todavía puede transformar F. V. para una integral de la forma $(*2)$. La única diferencia es de $U_F$ y $z$ no va a ser ajustado por el algunos de los factores.
Si usted desea aprender cómo lidiar con el caso de la correlación, la recogida de cualquier libro de texto estándar sobre la opción de fijación de precios y buscar los precios de quanto opción. Los problemas que haya encontrado en la fijación de precios a quanto opción es similar a la que necesita el precio de su calor-vinculado, bajo la opción de registro de modelo normal.
