La derivación de las fórmulas para los valores de los activos de europa-o-nada y dinero en efectivo-o-nada de opciones

Question

Los activos-o-nada Europeo de la opción paga en t = t el valor de las acciones cuando en el tiempo T que el valor sea mayor o igual al precio de ejercicio E, y nada si el valor de la acción está por debajo de E. Así, en términos matemáticos:

$$V(S,T) = \left\{ \begin{array}{lr} S & \text{si}\quad S \ge E,\\ 0 & \text{si}\quad S < E. \end{array} \derecho.$$

El dinero en efectivo-o-nada Europeo de la opción paga en t = t un valor fijo B cuando en el tiempo T que el valor sea mayor o igual al precio de ejercicio E, y nada si la el valor de las existencias es inferior a E. Así, en términos matemáticos:

$$V(S,T) = \left\{ \begin{array}{lr} B & \text{si}\quad S \ge E,\\ 0 & \text{si}\quad S < E. \end{array} \derecho.$$

Sabemos que las fórmulas para que estas opciones son las siguientes: $$\begin{align} &\text{Efectivo-o-nada, llame a:}\quad c_{cn}=Be^{rT}N(d_2),\\ &\text{Efectivo-o-nada puesto:}\quad p_{cn}=Be^{rT}N(-d_2),\\ &\text{Activos-o-nada, llame a:}\quad c_{un}=E^{-qT}N(d_1),\\ &\text{Activos-o-nada puesto:}\quad p_{un}=E^{-qT}N(-d_1).\\ \end{align}$$

donde $$d_1=\dfrac{\ln(S/E)+(r-q+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T t}}$$ y $$d_2=d_1-\sigma\sqrt{T t}.$$

También sabemos que se supone que vamos a seguir en la derivación de Black-Scholes con el fin de derivar estas fórmulas, pero vamos a tener problemas para entender en qué se diferencia de la derivación de Black-Scholes a sí mismo.

Answer 1

Usted puede obtener estas fórmulas afinando el black scholes derivación. Si usted está utilizando la PDE método, el uso de diferentes condiciones de contorno. Si usted está usando integración por el riesgo neutral probabilidad , usted tendrá que usar una diferente de la rentabilidad de la función, pero el mismo riesgo de densidad neutra.

Alternativamente , se puede observar que estas rentabilidades son combinaciones de regular puts y calls. Por ejemplo , el dinero en efectivo o nada de la llamada es el límite de una [E, E+dE] llamada de difusión como dE tiende a cero, de modo que usted puede obtener mediante la diferenciación de los regulares de black scholes llamada precio por E. a Continuación, el activo o nada de la llamada = la convocatoria ordinaria opción + el efectivo o nada de la llamada, por lo que se puede derivar de que uno así.

Answer 2

El valor de un dinero en efectivo-o-nada la opción es sólo el descuento del beneficio esperado de la opción. Por lo que el valor de la llamada debe ser $e^{-r (T - t)} N \mathbb{P} \left\{ S_T > K \right\}$, donde $\mathbb{P} \left\{ S_T > K \derecho\} = \mathcal{N} \left( d_2 \right)$ y $N$ es el dinero acordado a pagar.

Los activos-o-nada, es un poco más complicado, ya que es $e^{-r (T - t)} \mathbb{E} \left[ \a la izquierda. S_T \derecho| S_T > K \derecho]$. El último término es el valor esperado del precio de las acciones, dado que $S_T > K$. Por lo que tendría que utilizar la lognormal precio de las acciones y se integrará con el pdf de la normal estándar y "completar el cuadrado". Se terminaría con $e^{(r - q) (T - t)} S_0 \mathcal{N} \left( d_1 \right)$ para eso, y la fórmula final sería de $e^{-q (T - t)} S_0 \mathcal{N} \left( d_1 \right)$.

Answer 3

Para agregar un poco a Se Gu la respuesta:

Calcular $\mathbb{E} \left[ \a la izquierda. S_T \derecho| S_T > K \derecho]$ usando el hecho de que $S_T$ es lognormally distribuido con una media de $ln(S_0) + (r - \sigma^2/2)T$ y variación $\sigma^2 T$. Luego de encontrar el pdf de la distribución lognormal, por ejemplo, la Wikipedia, y calcular la expectativa integral. Usted puede encontrar los siguientes útil - ver ecuaciones (4.12) y (4.8) - aunque contiene algunos errores tipográficos: http://math.uchicago.edu/~mayo/REU2017/REUPapers/Yoo.pdf

Answer 4

Escribir black y scholes ecuación, para el activo o nada poner K = 0 Y por dinero en efectivo o nada poner S = 0 Y K = B y el descuento con el tiempo como e^-rT