¿Puede un juego con un único equilibrio de Nash de estrategia pura tener también un equilibrio de estrategia mixta?

Question

Considere un juego simultáneo 2x2 arbitrario con información completa. Digamos que el modelo tiene un solo equilibrio de Nash de estrategia pura. Por ejemplo (el primer pago se refiere al jugador 1):

                    Player 2
           +---+-------+-------+
           |   |   A   |   B   |
           +---+-------+-------+
Player 1   | A | (1,2) | (2,1) |
           | B | (3,3) | (1,1) |
           +---+-------+-------+

Aquí, (3,3) es el único equilibrio de Nash de estrategia pura. La razón por la que sólo hay uno es, aparentemente, porque uno de los jugadores tiene una estrategia dominante (el jugador 2 siempre prefiere A). Si cambiamos esto, obtendríamos dos equilibrios de estrategia pura.

Haciendo abstracción del hecho de que el equilibrio de estrategia pura es también uno de estrategia mixta con probabilidad 0/100%, ¿algún juego simple con un solo equilibrio de estrategia pura no tiene un equilibrio de estrategia mixta? ¿Existe una prueba formal de esto?

Mi suposición educada es que no hay un equilibrio de estrategia mixta. La "prueba" que se me ocurre es un gráfico de la mejor respuesta. Básicamente, un jugador tiene una estrategia dominante, lo que significa que para cualquier probabilidad, su respuesta es una línea vertical/horizontal en 0 o 1 (dependiendo de cómo se defina la probabilidad). Por lo tanto, independientemente de cómo sea la línea de mejor respuesta del otro jugador (es decir, dónde esté la probabilidad de indiferencia), sólo cruzará la línea del otro jugador en un punto. Ese punto es el equilibrio de estrategia pura.

PD: el adjetivo "simple" es para evitar escenarios de juego más complejos como la repetición, la cooperación, la información incompleta, etc.

Answer 1

                    Player 2
           +---+-------+-------+-------+
           |   |   A   |   B   |   C   |
           +---+-------+-------+-------+
Player 1   | A | (1,1) | (0,0) | (0,0) | 
           | B | (0,0) | (2,1) | (1,2) |
           | C | (0,0) | (1,2) | (2,1) |
           +---+-------+-------+-------+

Si permitimos $3\times 3$ entonces lo anterior es un ejemplo del juego que tiene exactamente un equilibrio de Nash de estrategia pura $(A, A)$ y al menos un Equilibrio de Nash de estrategia mixta.

Answer 2

En general:
Si se extraen los números de la matriz de pagos de distribuciones continuas i.i. entonces con probabilidad 1 el juego tendrá un número impar de puntos de equilibrio. (Es decir, la suma total de los equilibrios puros y mixtos). Véase aquí o aquí .

Si su juego es 2x2, esto significa que con probabilidad 1 tendrá 1 o 3 equilibrios. Sólo puede tener 2 equilibrios si el juego es "degenerado", lo que dependería de la existencia de estrategias débilmente dominadas. Un ejemplo es

                   Player 2
           +---+-------+-------+
           |   |   A   |   B   |
           +---+-------+-------+
Player 1   | A | (1,1) | (0,0) |
           | B | (0,0) | (0,0) |
           +---+-------+-------+

En este caso, tanto (A,A) como (B,B) son equilibrios de Nash. No hay otros equilibrios, ya que A es mejor que B si el adversario juega A con una probabilidad distinta de cero.
(B,B) no es un equilibrio perfecto de mano temblorosa, pero eso sería un requisito adicional.

Como la existencia de estrategias débilmente dominadas es necesaria para tener exactamente 2 NE y en un juego de 2x2 eso hace imposible los equilibrios mixtos, esto significa que no se puede tener exactamente 1 NE pura y 1 mixta.

Answer 3

También estuve pensando en esto hoy y encontré el siguiente contraejemplo. Tomemos el juego

$$ \begin{matrix} & L & R \\ T & 2,2 & 0,2 \\ B & 0,2 & 1,1 \\ \end{matrix} $$

(T,L) es la única NE de estrategia pura, pero hay una NE en la que el jugador 1 juega T y el jugador 2 juega L con probabilidad $p\geq 1/3$ . Sin embargo, creo que es cierto que no habrá una NE completamente mezclada en un juego con una única NE pura.