Cómo comprobar el Valor de la Función en un valor distinto de cero la suma de dos jugadores Diferencial de Juego?

Question

Hay dos agentes de $i=1,2$. El estado $k$ es gobernado por $\tau_i\in[0,1]$ donde \begin{align} \dot{k} = f(k,\tau_1,\tau_2). \end{align}

Definir el valor de la función de reproductor de $i$ por \begin{align} v_i(k) := \sup_{\tau_i}\int^\infty_0{e^{-\rho t}F(k,\tau_i,\sigma_{-i})dt}. \end{align} donde $\sigma_{-i}(k)$ es la función de política o un markovian stratgey perfil de jugador $-i$. Y $\rho>0$ es la tasa de preferencia temporal.

El Hamilton-Jacobi-Bellman ecuación de lee \begin{align} \rho v_i(k) = \sup_{\tau_i}\{F(k,\tau_i,\sigma_{-i}) + v'(k)f(k,\tau_i,\sigma_{-i})\}. \end{align}

Supongamos ahora me aproximar una función $\hat{v}_i$ por el valor de la función de iteración. ¿Cómo puedo saber que es el verdadero valor de la función?

Answer 1

El primer panel muestra el valor final de la función después de la iteración 80k (!). Probablemente debería probar un método implícito. El segundo panel muestra la evolución de frist supongo que al resultado final $v^0\v^j$, $j=$ 80k. Tercer panel es la distancia entre el valor de las funciones y la cuarta muestra el error.

Tenga en cuenta que el valor de la función es convexa-cóncava. Esto es debido al hecho de que para el límite el caso de que la ley de movimiento tiende a infinty $\lim_{k\to 0} \dot{k} = \infty$.

Por el principio del máximo de optimalidad requiere que el Hamiltoniano \begin{align} H_1(k,\tau_1,\tau_2^*,\lambda_1) := F(k,\tau_1,\tau_2^*) + \lambda_1 f(k,\tau_1,\tau_2^*) \end{align} es cóncava en $(k,\tau_1,\tau_2)$ (condición suficiente). Ahora tenemos
\begin{align} \rho v(k) = \max_{\tau_1} H_1(k,\tau_1,\tau_2^*,\lambda_1). \end{align}

• Me preguntaba si el valor de la función debe ser (estrictamente) cóncava para garantizar la optimalidad?

Cualquier referencia que se aprecia.