Digamos que el precio de las acciones sigue el siguiente proceso:
$$dS(t) = \sigma dW(t)$$
donde $W(t)$ es un movimiento browniano estándar. El nivel inicial de la acción es $S(0)$ . Definir la media del precio de las acciones $Z(t)$ como:
$$Z(t) = \frac{1}{T}\int_0^T S(t)dt$$
¿Cuál es la distribución de $Z(t)$ ?
Nota: esto se preguntó en una de las entrevistas de quant y no pude encontrar ninguna referencia a ello en la web y en este formulario.
¿Podría ayudarme a empezar?
El modelo para el stock es el modelo de Bachelier con la solución $$ S(t) = S(0) + \sigma W(t) $$ Así, la ley de las acciones $S(t)$ es gaussiano con media $S(0)$ y la varianza $\sigma^2 t$ . Para el proceso medio $Z(T)$ es por tanto la media del movimiento browniano lineal, podemos reescribirlo como $$ Z(T) = \frac{1}{T} \int_0^T S(0) + \sigma W(t) dt = S(0) + \frac{\sigma}{T}\int_0^T W(t) dt $$ Por lo tanto, todo lo que necesitas es la ley de la media del movimiento browniano. Es claramente gaussiano. La media es $S(0)$ y todo lo que necesitas es la varianza. Utilizando la integración por partes se obtiene la siguiente expresión para la integral del movimiento browniano en función del tiempo. Puedes buscar esto en la web y encontrar, por ejemplo, esto documento donde dice que $\int_0^T W(t) dt $ es gaussiano con media $0$ y la varianza $T^3/3$ .
Por último, la distribución del $Z(T)$ es gaussiano con media $S(0)$ y la varianza $\sigma^2 T/3$ (como se desdobla por $T$ y entra en la varianza con un cuadrado). Nótese que la varianza de la media del movimiento browniano es un tercio de la varianza del propio BM.
Me gusta la respuesta de Richard, pero creo que podemos calcular la media y la varianza de $\int_0^T W_t dt$ por nosotros mismos utilizando el lema de Ito. Sea $f(W_t, t) = t W_t$ . $$ d( t W_t ) = W_t dt + t dW_t . $$ Integrando ambos lados, y reordenando los términos, obtenemos $$ \int_0^T W_t dt = T W_T - \int_0^T t dW_t \, . $$ Utilizaremos la fórmula de isometría de Ito $\mathbb{E} \left[ \int_0^T f_t dW_t \int_0^T g_t dW_t \right] = \int_0^T \mathbb{E} \left[f_t g_t \right] dt$ .
La integral $\int_0^T W_t dt$ es una variable aleatoria gaussiana con media cero $$ \mathbb{E} \left[ \int_0^T W_t dt \right] = T \mathbb{E} \left[ W_T \right] - \mathbb{E} \left[ \int_0^T t dW_t \right] = 0, $$ y la varianza $$ \mathbb{E} \left[ \left(\int_0^T W_t dt \right)^2 \right] = T^2 \mathbb{E} [W_T^2] - 2 T \mathbb{E} \left[W_T \int_0^T t dW_t \right] + \mathbb{E} \left[ \left(\int_0^T t dW_t \right)^2 \right] $$ $$ = T^3-2 T \int_0^T t dt + \int_0^T t^2 dt = \frac{T^3}{3}. $$
Por lo tanto, continuando con las derivaciones de Richard, $Z(T)$ es una variable aleatoria gaussiana con media $S(0)$ y la varianza $\sigma^2 T/3$ .
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