Junto con el libro de Gatheral, recomendaría la lectura de "Stochastic Volatility Modelling" de Lorenzo Bergomi. Los 2 primeros capítulos pueden descargarse de su sitio web. sitio web . Dicho esto, permítanme que intente darles una imagen básica.
A continuación supondremos que la curva a plazo de la renta variable $F(0,t)=\Bbb{E}_0^\Bbb{Q}[S_t]$ se da para todos $t$ menor que alguna madurez relevante $T$ . La deriva neutral al riesgo $\mu(t)$ se deduce de esa curva de avance considerando un marco de difusión pura (es decir, sin saltos). Lo mismo ocurre con la curva de descuento y el tipo sin riesgo $r(t)$ . También suponemos que no hay arbitraje en el mercado.
Volatilidad implícita
Como dice Rebonato: la volatilidad implícita es el número equivocado que hay que poner en la fórmula equivocada para obtener el precio correcto .
Por lo tanto, debe considerarse como una forma alternativa y equivalente de describir los precios de las opciones vainilla: en lugar de utilizar el precio de mercado de una opción, se obtiene la cifra de volatilidad $\sigma$ que debe introducirse en la fórmula de fijación de precios Black-Scholes, junto con el precio a plazo y el factor de descuento adecuados, para recuperar el precio anterior. Sólo hay una cifra, porque el precio BS es una correspondencia unívoca entre la volatilidad y el precio, en igualdad de condiciones.
Si haces esto para todos los vencimientos de la lista $T=\{T_1,\dots,T_N\}$ y todas las huelgas enumeradas $K=\{K_1,\dots,K_M\}$ se obtiene la llamada superficie de volatilidad implícita (discreta) $\Sigma(T,K)$ correspondientes a los precios $V(T,K)$ .
El documento que menciona es uno de los muchos que estudian cómo se podría pasar de este discreto $T \times K$ especificación de la superficie IV a una continua basándose en alguna parametrización específica (aquí IVS), cuyo objetivo es excluir las oportunidades de arbitraje mientras se interpolan/extrapolan los puntos de datos originales.
Volatilidad local
¿Es la función $\sigma_{LV}(t,S)$ de forma que cuando se utiliza el siguiente modelo de difusión markoviano 1D para el precio al contado de la renta variable $$ \frac{dS_t}{S_t} = \mu(t) dt + \sigma(t,S_t) dW_t $$ los precios de cualquier $(T,K)$ devueltos por el modelo coinciden perfectamente con los precios de mercado $V(T,K)$ o, lo que es lo mismo, como acabamos de ver, permite volver sobre la misma superficie de volatilidad. $\Sigma(T,K)$ .
El trabajo seminal de Dupire muestra que a partir de la definición anterior la función de volatilidad local debe verificar (véase también la derivación aquí ) $$ \sigma_{LV}^2(t=T, S=K) = \frac{\Sigma^2 + 2\Sigma T \left( \frac{\partial \Sigma}{\partial T} + \mu(T)K \frac{\partial \Sigma}{\partial K} \right)} {\left( 1-\frac{Ky}{\Sigma} \frac{\partial \Sigma}{\partial K} \right)^2 + K \Sigma T \left( \frac{\partial \Sigma}{\partial K} - \frac{1}{4} K \Sigma T \left( \frac{\partial \Sigma}{\partial K} \right) ^2 + K \frac{\partial^2 \Sigma}{\partial K^2} \right)} \tag{1} $$ donde $y = \text{ln}(K/F(0,T))$ y $\Sigma = \Sigma(T,K)$ .
Recíprocamente, en el capítulo 2 del libro de Bergomi, pero también en el de Gatheral, se muestra cómo las volatilidades implícitas pueden verse como una expectativa ponderada de volatilidades locales, véase por ejemplo la ecuación (2.32) y (2.33) en el libro de Bergomi.
Volatilidad estocástica
Equivale a considerar un modelo de difusión de la forma \begin{align} \frac{dS_t}{S_t} = \mu(t) dt + \sigma_t dW_t^S \\ d\sigma_t = \alpha(t,\sigma_t) dt + \beta(t,\sigma_t) dW_t^\sigma \end{align} con cierta correlación entre los 2 movimientos brownianos impulsores. La volatilidad instantánea de los rendimientos logarítmicos $\sigma_t$ es esta vez estocástico De ahí su nombre. No existe una conexión directa integrada con los precios de las opciones vainilla. Dicho esto, este marco de modelización permite generar sonrisas de volatilidad y, por tanto, podría calibrarse con el mercado.
Si desea calibrar el modelo para que se recuperen los precios de las opciones vainilla se puede apelar al teorema de Gyöngy (también tratado tanto en Gatheral como en Bergomi) y a la dinámica de $\sigma_t$ debe satisfacer $$ \Bbb{E}_0^\Bbb{Q} \left[ \sigma_t^2 \vert S_t = S \right] = \sigma^2_{LV}(t,S) \tag{2}$$
De nuevo, los pros y los contras se examinan en detalle en el libro de Bergomi. Para ir aún más lejos, puede echar un vistazo a modelos de varianza hacia delante y modelos de volatilidad local-estocástica .
[TL;DR]
- La volatilidad implícita es una correspondencia unívoca entre el precio de una opción vainilla y una cantidad específica del modelo: la volatilidad Black-Scholes.
- La volatilidad local va un paso más allá al crear una correspondencia uno a uno con no uno sino todos los precios de las opciones vainilla. Esto se basa en una representación markoviana 1D de la dinámica al contado en la que la varianza instantánea de los rendimientos logarítmicos depende de forma determinista del nivel del precio al contado en todo momento (modelo completo).
- La volatilidad estocástica equivale a considerar un marco de difusión 2D en el que la varianza instantánea de los rendimientos logarítmicos de la renta variable es un factor estocástico independiente (modelo incompleto). No existe una conexión "incorporada" con el mercado, aunque este modelo permite generar sonrisas IV. Cuando se calibra un modelo de volatilidad estocástica con el mercado, suele ser imposible igualar todos los precios de las opciones vainilla debido al número finito de parámetros del modelo disponibles.
- Ecuaciones $(1)$ y $(2)$ establecer vínculos entre las 3 magnitudes pertinentes.
