Convexidad de los tipos de interés - Cuestión fundamental

Question

Tengo una pregunta muy básica sobre los ajustes de convexidad en las valoraciones de los swaps. Me siento cómodo con la derivación matemática del ajuste de convexidad.

Mi pregunta se refiere a cuándo y por qué se considera necesario un ajuste de convexidad en algunos casos y no en otros.

La regla general parece ser esa:

1. En el caso de un IRS vainilla, o cualquier otra variación en la que el tipo variable se aplique a un periodo determinado $(T_i, T_{i+1})$ se observa en $T_i$ En este caso, el enfoque "correcto" consiste en suponer que los tipos al contado previstos son iguales a los tipos a plazo, por lo que no es necesario un ajuste de convexidad.

2. Si, por el contrario, el tipo variable se fija al final del periodo, como en un swap Libor a plazo, el enfoque "correcto" consiste en aplicar un ajuste de convexidad al tipo a plazo para obtener el tipo de swap futuro previsto.

¿Por qué la suposición de que los tipos de interés a plazo se realizarán es válida para un swap IRS simple basado en el FRA, y no para un swap Libor a plazo?

Todo lo que he leído parece afirmar simplemente esto como un hecho sin proporcionar algún tipo de explicación de por qué se utiliza esta convención

Answer 1

Efectivamente, se trata sólo de una convención, como usted señala. Proviene del hecho de que los bonos de cupón cero, por convención, no tienen ninguna exposición a la volatilidad. Más bien, se supone que los precios de los ZCBs están dados. Ahora bien, se puede replicar un fra regular con strike K exactamente utilizando ZCBs: Un ZCB largo con vencimiento T(i) y ZCBs cortos (1+alpha K) con vencimiento T(i+1), donde alpha es el tiempo entre T(i) y T(i+1). Por lo tanto, los fra regulares no tienen ninguna exposición a la volatilidad. Por lo tanto, los IRS regulares tampoco la tienen. Por lo tanto, los fra en los que la fecha de pago es "no natural" deben tener exposición a la volatilidad. Por lo tanto, estos deben tener ajustes de convexidad, dependiendo de la volatilidad. ¿Ayuda esto?

Answer 2

Bien, creo que ahora tengo esto resuelto en mi cabeza en términos de la teoría de la medida martingala. Gracias dm63 por indicarme la dirección correcta. Sólo para mi propia tranquilidad y tal vez para ayudar a otros en el futuro, mi comprensión es la siguiente:

Intercambio de vainilla: Observamos el LIBOR $L(T_i, T_{i+1})$ en el momento $T_i$ y el pago se produce en $T_{i+1}$ . Por lo tanto, la medida correcta es la clásica de "riesgo neutral a futuro" con respecto a un ZCB que vence en el tiempo $T_{i+1}$ . En esta medida, $L(T_i, T_{i+1})$ es una martingala y por lo tanto $L(t, T_i, T_{i+1})$ = $\mathbb{E}^Q[L(T_i, T_i, T_{i+1})]$ - En otras palabras, en este caso el LIBOR a plazo en cuestión es igual a su valor futuro esperado al contado (en la medida mencionada anteriormente) y, por lo tanto, no es necesario ajustar la convexidad.

Swap del LIBOR en atrasos: Observamos el mismo LIBOR, de nuevo en $T_i$ pero esta vez el pago también se produce en $T_i$ . Por lo tanto, la medida adecuada es aquella que es neutral al riesgo a futuro con respecto a un ZCB que vence en el tiempo $T_{i}$ . Sin embargo, en esta medida, el LIBOR en cuestión $L(T_i, T_{i+1})$ no es una martingala. Por lo tanto, el LIBOR a plazo no es igual al tipo de interés spot futuro esperado, de ahí la necesidad del ajuste de convexidad.

Answer 3

Creo que casi tienes razón. No deberías hablar de $L(T_i,T_{i+1})$ siendo una martingala, ya que se trata de una VR no observada hasta $T_i$ . Más bien deberíamos hablar de $L(t,T)$ el tipo de interés regular a plazo del Libor, y $L'(t,T)$ la tasa justa para un FRA atrasado. Tenemos que $L(t,T)$ es una martingala bajo la $ZCB(T_{i+1})$ medida, como usted dice. Pero también, $L'(t,T)$ es una martingala bajo la $ZCB(T_i)$ medida. Así que la situación es más simétrica de lo que se cree. Lo que podemos decir es que el ajuste de convexidad, $L'(t,T) - L(t,T)$ no es una martingala bajo ninguna de las dos medidas, y que este diferencial es una función de la volatilidad. Sin embargo, es arbitrario cuál de ellas tiene la exposición a la volatilidad. La cuestión se decide al final por la decisión (en la mayoría de los modelos) de que $Z(t,T)$ se dan, y no tienen exposición a la volatilidad por definición. Por ejemplo, si la volatilidad es cero, la mayoría de los modelos dicen que el Libor sigue los tipos regulares a plazo, no los atrasados. Pero no hay ninguna razón por la que no se pueda escribir un modelo en el que los FRAs atrasados sean fundamentales. Entonces el ZCB tendría exposición a la volatilidad. Espero que eso no confunda las cosas.