¿Puede alguien comprobar mi prueba? Creo que hay algo que no está bien. He encontrado recursos limitados en línea para esto también, así que creo que podría beneficiar a otros para conseguir esto en Internet.
Supongamos que hay $K$ factores de series temporales con $T$ devuelven observaciones cada uno y $N$ acciones. Nuestro modelo establece que la rentabilidad de cada acción del modelo es una combinación lineal de la rentabilidad de los factores, por ejemplo, en forma de variable aleatoria vectorial $R_i = \beta_i F + \epsilon_i$ . La varianza de la rentabilidad de una cartera con ponderaciones $w$ viene dado por $\text{Var}(w^\prime R) = w \beta \text{Var}(F) \beta^\prime w + w^\prime \text{Var}(\epsilon)$ .
Definiciones:
- $w$ ( $N \times 1$ ) ponderaciones de la cartera
- $\beta$ ( $K \times N$ ) matriz de carga factorial
- $\Omega = \beta^\prime \text{Var}(F) \beta$ ( $N\times N$ ) matriz de riesgo factorial
- $e = \text{Var}(\epsilon)$ ( $N \times 1$ ) varianza específica de existencias
- $\lambda$ ( $1\times 1$ ) Multiplicador de Lagrange
- $\vec 1$ ( $N\times 1$ )
El problema de optimización después de añadir el multiplicador de Lagrange para la suma de pesos a una restricción es:
$$ w^* = \text{argmin}_w \left[ w^\prime \Omega w + w^\prime e - \lambda(w^\prime \vec 1 - 1)\right] $$
Las condiciones de primer orden son
$$ 2w^\prime \Omega + e^\prime - \lambda \vec 1^\prime = 0 $$ $$ w^\prime \vec 1 = 1 $$
Resolviendo la primera ecuación para $w^\prime$ en términos de $\lambda$ produce
$$w^\prime = \frac{1}{2}\left( \lambda \vec 1^\prime - e^\prime \right) \Omega^{-1}$$
Sustituyendo esto en el segundo BDC el resultado es
$$ 1 = \left( \frac{1}{2}\left( \lambda \vec 1^\prime - e^\prime \right) \Omega^{-1} \right) \vec 1\\ \implies 2 = \lambda \vec 1^\prime \Omega^{-1} \vec 1 - e^\prime \Omega^{-1} \vec 1 \\ \implies \lambda = \frac{2 + e^\prime \Omega^{-1} \vec 1}{\vec 1^\prime \Omega^{-1} \vec 1 } $$
Sustituyendo de nuevo el Lagrangiano en la primera FOC se obtiene el resultado
$$ w^{*\prime} = \frac{1}{2}\left[ \left(\frac{2 + e^\prime \Omega^{-1} \vec 1}{\vec 1^\prime \Omega^{-1} \vec 1 }\right)\vec 1^\prime - e^\prime \right] \Omega^{-1} $$
No estoy seguro de si se puede escribir de forma más sencilla, pero cuando codifiqué esto en un modelo factorial estadístico PCA, obtuve pesos que no sumaban uno, como sugiere la restricción.
Resultado
En última instancia, no creo que hubiera realmente un problema con cualquiera de las matemáticas que se hizo originalmente, pero una reformulación del problema realmente ayudó gracias a @John. Para completar, la prueba final está por debajo.
Definiciones:
- $w$ ( $N \times 1$ ) ponderaciones de la cartera
- $\beta$ ( $K \times N$ ) matriz de carga factorial
- $\Omega = \beta^\prime \text{Var}(F) \beta$ ( $N\times N$ ) matriz de riesgo factorial
- $e = \text{Var}(\epsilon)$ ( $N \times N$ ) matriz diagonal de la varianza específica del stock
- $\lambda$ ( $1\times 1$ ) Multiplicador de Lagrange
- $\vec 1$ ( $N\times 1$ )
- $\Sigma \equiv \Omega + e$
Con esta formulación, la varianza de la cartera viene dada por
$$\text{Var}(w^\prime R) = w^\prime \beta \text{Var}(F) \beta^\prime w + w^\prime \text{Var}(\epsilon) w\\ = w^\prime \Omega w + w^\prime e w\\ = w^\prime \Sigma w$$
El problema de optimización después de añadir el multiplicador de Lagrange para la suma de pesos a una restricción es:
$$ w^* = \text{argmin}_w \left[ w^\prime \Sigma w - \lambda(w^\prime \vec 1 - 1)\right] $$
Las condiciones de primer orden son
$$ 2w^\prime \Sigma - \lambda \vec 1^\prime = 0 $$ $$ w^\prime \vec 1 = 1 $$
Resolviendo la primera ecuación para $w^\prime$ en términos de $\lambda$ produce
$$w^\prime = \frac{1}{2}\lambda \vec 1^\prime \Sigma^{-1}$$
Sustituyendo esto en el segundo BDC el resultado es
$$ 1 = \frac{1}{2} \lambda \vec 1^\prime \Sigma^{-1} \vec 1^\prime \implies \lambda = \frac{2}{\vec 1^\prime \Sigma^{-1} \vec 1} $$
Sustituyendo de nuevo el Lagrangiano en la primera FOC se obtiene el resultado
$$ w^{*\prime} = \frac{1^\prime \Sigma^{-1}}{\vec 1^\prime \Sigma^{-1} \vec 1} $$
En la práctica, los resultados que he obtenido de la estimación directa de forma cerrada de $w^*$ son algo inestables incluso para valores pequeños de $N$ y producen resultados que incluyen un apalancamiento muy alto. Puede ser un problema de codificación y estoy volviendo a comprobar el código, pero estoy bastante seguro de que no hay errores de codificación graves.
Si cada factor está representado por una cartera parece que lo mejor sería estimar el $K$ ponderaciones de la cartera de varianza mínima de los factores y multiplicar para obtener las ponderaciones finales de la cartera.
