Cómo obtener un resultado analítico para el precio de la opción se basa en este modelo?

Question

He definido un modelo para el precio de las acciones

(1).... $$dS = \mu\ S\ dt + \sigma\ S\ dW + \rho\ S(dH - \mu) $$

donde $H$ es lo que se denomina "reajustable proceso de poisson", definido como

(2).... $$dH(t) = dN_{\lambda}(t) - H(t)dN_{\eta}(t) $$

y $\mu := \frac{\lambda}{\eta}$.

Es posible obtener algunos resultados analíticos similares a los de Black-Scholes de la ecuación (3)?

(3).... $$ \frac{\partial V}{\partial t} + r\ S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{\sigma^2^2}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} - r\ V = 0$$

Mejor aún, podríamos derivar algo similar a la fórmula Black-Scholes para call/put opción de precios?

Lo intenté, pero no pudo.

En el clásico modelo de GBM, para obtener Black-Scholes euqation (3), los pasos esenciales son:

Por el lema de Ito,

(4)... $$df = (f_x+\mu f_x+\sigma^2/2\cdot f_{xx})dt + \sigma f_x dW$$

Basado en GBM precio de las acciones del modelo (5),

(5)... $$ds = \mu S dt + \sigma S dW$$

Tenemos

(6).... $$dV = \left( \frac{\partial V}{\partial t} +\mu S \frac{\partial V}{\partial S}+\frac{\sigma^2 S^2}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt + \sigma S \frac{\partial V}{\partial S}dW$$

Poner (5) en (6) de nuevo tenemos

(7).... $$dV - \sigma S \frac{\partial V}{\partial S}dS = \left( \frac{\partial V}{\partial t} +\frac{\sigma^2 S^2}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt $$

entonces podemos definir (8)... $$\Pi = V - \frac{\partial V}{\partial S S}$$ , de modo que el lado izquierdo de (7) es de solo $d\Pi$ y no relacionado con ningún efecto aleatorio, por lo que tenemos

(9)... $$d\Pi = r \Pi dt$$ a continuación, obtenemos (3).

Después de introducir la "reajustable proceso de Poisson" $H_{\lambda \eta}(t)$ en el modelo, no podía encontrar una manera de cancelar tanto el $dW$ y $dN$....

¿Sabe cómo solucionar esto?

Cualquier sugerencia se agradece, estoy atascado aquí...

Answer 1

Yo no trabajo fuera de los detalles explícitos, pero se puede reproducir de Black&Scholes metodología de la Ito de la fórmula para Saltar Diffusions. Véase, por ejemplo, la sección acerca de Poisson saltar en los procesos de http://en.wikipedia.org/wiki/Itō's_lemma

En general todo proceso de Markov admite algún tipo de Ito fórmula, conocida como Dynkin fórmula, que dice que por un proceso de markov $X$, con generador de $\mathcal{L}$, y cada suficientemente liso $f$,$$ M^f_t = f( X_t ) - f( X_0 ) - \int_0^t \mathcal{L}f(S_s)ds$$ es una martingala.

Answer 2

Sí, se puede derivar una analítica de la llamada fórmula de fijación de precios para este modelo. Es un análogo cercano de Merton salto de difusión, y las mismas técnicas que se aplican. La distribución final es la superposición de las distribuciones lognormal, con una varianza común pero diferentes medios dependiendo del nivel final del restablecimiento de proceso de Poisson.

Permite encontrar la probabilidad p de que H(t) = 0. Voy a suponer que H(0)=0; el otro caso es similar. Tenga en cuenta que p'(t) = -lambda p(t) + eta (1-p(t)), lo que refleja el lambda de la llegada de la tasa de saltos fuera del estado H=0 y la eta de la llegada de la tasa de salta de nuevo a ese estado. Esta es una de primer orden seperable la educación a distancia con la solución p(t) = eta(eta+lambda) + lambda exp(-(eta+lambda)t)/(eta + lambda).

La probabilidad p de que H(t)=1 satisface p'(t) = lambda p(t) - (lambda + eta) q(t). De nuevo, esto es de primer orden seperable; integrando obtenemos q(t)=lambda de eta(eta+lambda)^2 + exp(-(eta+lambda)t)(lambda^2(eta+1)t + lambda eta)/(eta+lambda)^2.

Esto se está desordenado pero no intractible. La forma es constante + exponencial * polinomio. Generalizando, para cada n la probabilidad de p_n(t) H(t)=n satisface p_n'(t) = lambda p_n(t) - (lambda + eta) p_{n-1}(t) y tendrá una solución de la forma p_n(t) = lambda^n de eta(eta + lambda)^(n+1) + exp(-(eta+lambda)t)*f_n(t) donde f_n(t) es un polinomio de grado n. No veo cómo se escriben los coeficientes de f_n explícitamente, pero se puede calcular de forma recursiva a partir de los coeficientes de f_{n-1}; si alguien realmente quiere ver los detalles, pregunte.

Por último vamos a BS(S,K,T,r,mu,sigma) ser el de Black-Scholes de la llamada fórmula de fijación de precios. El precio de una convocatoria en el marco del restablecimiento de poisson salto de difusión es sum_{n=0}^infinito p_n(T) B(S,K,T,r,mu-lambda rho/eta + n rho/T,sigma).

En la práctica, la suma debe converger rápidamente, por lo que podemos truncar después de un par de términos.