¿Cómo calcular la varianza de esta integral estocástica?

Question

Soy nuevo en cálculo estocástico y he hecho un ejercicio pero no sé si es correcto, por lo que necesito que alguien con más experiencia compruebe si es cierto.

Intento calcular la varianza de la siguiente variable aleatoria:

$$Z=\int _0^T e^{W_t} dW_t$$

Así que tenemos:

$\text{Var}(Z)=\text{Var}\left(\int _0^T e^{W_t} dW_t\right)$

Por la isometría de Ito tenemos:

$$\mathbb{E}\left[\int _0^T e^{2W_t} dt\right]$$

entonces podemos traer dentro de la expectativa de obtener:

$$\int _0^T \mathbb{E}\left[e^{2W_t}\right] dt = \int_0^T e^{2t} dt = \frac{e^{2T}}{2}-\frac{1}{2}$$

Además, si el resultado anterior es correcto, ¿qué debería obtener en lugar del problema me pidió que calcular

$$\text{Var}\left(\int _0^T e^{W_t} dt \right)$$

¿Debería ser simplemente la varianza de una variable aleatoria con distribución lognormal, calculada en los extremos del intervalo, o no?

Answer 1

Para calcular la varianza $$\text{Var}\left(\int _0^T e^{W_t} dt \right),$$ necesitamos calcular \begin{align*} E\left( \left(\int _0^T e^{W_t} dt \right)^2 \right) &= \int_0^T\!\!\!\!\int_0^T E\left(e^{W_s+W_t} \right) ds\,dt. \end{align*} Tenga en cuenta que, para $0 \le s, t \le T$ , \begin{align*} W_s+W_t = \begin{cases} W_t -W_s + 2 W_s, & \text{ if } s \le t,\\ W_s -W_t + 2 W_t, & \text{ else}. \end{cases} \end{align*} Es decir, como suma de dos variables aleatorias normales independientes, $W_s+W_t$ es normal, con media $0$ y varianza \begin{align*} \text{Var}(W_s+W_t) = \begin{cases} t+3s, & \text{ if } s \le t,\\ s+3t, & \text{ else}. \end{cases} \end{align*} Entonces \begin{align*} E\left( \left(\int _0^T e^{W_t} dt \right)^2 \right) &= \int_0^T\!\!\!\!\int_0^T E\left(e^{W_s+W_t} \right) ds\,dt\\ &=\int_0^T\left[\int_0^t E\left(e^{W_s+W_t} \right) ds+\int_t^T E\left(e^{W_s+W_t} \right) ds\right]dt\\ &=\int_0^T\left[\int_0^t e^{\frac{1}{2}t + \frac{3}{2}s} ds+\int_t^T e^{\frac{1}{2}s + \frac{3}{2}t} ds\right]dt. \end{align*} El resto es simple cálculo.

Answer 2

$$Var(\int _0^T e^{W_t} dt)$$

$$= E[(\int _0^T e^{W_t} dt)^2] - (E[\int _0^T e^{W_t} dt])^2$$

Ahora

$$E[\int _0^T e^{W_t} dt] = \int _0^T E[e^{W_t}] dt$$

Recordemos que $W_t$ es normal. utilizar mgf

En cuanto a

$$E[(\int _0^T e^{W_t} dt)^2]$$

Intentaré seguir este :

$$E[(\int_0^T e^{W_t} dt)^2]$$

$$ = E[(\int_0^T e^{W_t} dt)(\int _0^T e^{W_s} ds)]$$

$$ = E[\int_0^T \int_0^T e^{W_t} e^{W_s} dt ds]$$

$$ = \int_0^T \int_0^T E[e^{W_t} e^{W_s}] dt ds$$

Sin pérdida de generalidad, supongamos $s < t$ . Entonces considerando la martingala exponencial, tenemos

$$E[e^{W_t} e^{W_s}] = E[E[e^{W_t} e^{W_s}|\mathscr F_s]]$$

$$= E[e^{W_s}E[e^{W_t} |\mathscr F_s]]$$

$$= E[e^{W_s}e^{\frac{t}{2}}E[e^{\frac{-t}{2}}e^{W_t} |\mathscr F_s]]$$

$$= E[e^{W_s}e^{\frac{t}{2}}e^{\frac{-s}{2}}e^{W_s}]$$

$$= e^{\frac{t}{2}}e^{\frac{-s}{2}}E[e^{W_s}e^{W_s}]$$

$$= e^{\frac{t}{2}}e^{\frac{-s}{2}}E[e^{2W_s}]$$

Tenga en cuenta que $2W_s$ también es normal. Usar mgf de nuevo

Así

$$ \int_0^T \int_0^T E[e^{W_t} e^{W_s}] dt ds$$

$$ = \int_0^T e^{\frac{t}{2}} dt \int_0^T e^{\frac{-s}{2}}E[e^{2W_s}] ds$$