El promedio de correlación de índice/cartera

Question

Tratamos de analizar el promedio de la correlación de una cartera que se puede encontrar aquí en la sección 2 b), la misma fórmula que también es utilizado por el CBOE para calcular correlaciones implícitas:

$$ \rho_{av(2)} = \frac{\sigma^2 - \sum_{i=1}^N w_i^2\sigma_i^2}{2 \sum_{i=1}^N \sum_{j>i}^N w_i w_j \sigma_i \sigma_j} $$

EDIT:Suponiendo que $\sigma^2 = \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i,j}$, donde $\rho_{i,i}=1$ por $i=1,\ldots,N$, la expresión anterior puede ser escrita como $$ \rho_{av(2)} = \frac{\sum_{i=1}^N \sum_{j>i}^N w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{i,j}}{\sum_{i=1}^N \sum_{j>i}^N w_i w_j \sigma_i \sigma_j}. $$

Surgen las siguientes preguntas.

1. Suponiendo que $w_i \in \mathbb{R}$, es decir, largo/corto de el apalancamiento es permitido, es posible que $|\rho_{av(2)}|>1 $ ? Tenga en cuenta que nosotros no asumimos $\sum w_i=1$.
2. Hace ya existe la noción de contribución promedio de correlación? Lo que significa que por ejemplo, en un corto/largo de cartera, en donde el promedio de correlación debe ser cercana a cero, puedo identificar las posiciones que impulsan el promedio de correlación (en valor absoluto).

Answer 1

Vamos a empezar por la sustitución de $\sigma$ por su estimador formula $\sigma^2=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}(x_i-\mu)^2$. Ahora, mediante la sustitución de $\mu$ por su estimador $\mu=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}x_i$ en la fórmula para la varianza se obtiene:

$\sigma^2=\frac{1}{2n^2}\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(x_i-x_j)^2$.

Para el activo individual, la varianza se escribe $\sigma^2_s=\frac{1}{2n^2}\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(x_{s,i}-x_{s,j})^2$, $s=1,2,...,$N. Para la cartera, podemos denotar las observaciones por $y_i=\sum_{s=1}^N w_sx_{s,i}$, y por lo que la varianza de la cartera escribe

$\sigma^2=\frac{1}{2n^2}\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(y_i-y_j)^2=\frac{1}{2n^2}\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(\sum_{s=1}^N w_sx_{s,i}-\sum_{s=1}^N w_sx_{s,j})^2$

Ahora, la alimentación de este en su fórmula, tenemos en el numerador:

$\sigma^2-\sum_{s=1}^N w^2_s\sigma_s^2=\frac{1}{2n^2}\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(\sum_{s=1}^N w_sx_{s,i}-\sum_{s=1}^N w^2_sx_{s,j})^2-\sum_{s=1}^N w_s\frac{1}{2n^2}\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(x_{s,i}-x_{s,j})^2=\frac{1}{2n^2}\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}[(\sum_{s=1}^N w_s(x_{s,i}-x_{s,j}))^2-\sum_{s=1}^N w^2_s(x_{s,i}-x_{s,j})^2]=$

$=\frac{1}{2n^2}\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}[\sum_{s=1}^N w_s^2(x_{s,i}-x_{s,j})^2+2\sum^N_{s=1}\sum^N_{t>1} w_s w_t(x_{s,i}-x_{s,j})(x_{t,i}-x_{t,j})-\sum_{s=1}^N w^2_s(x_{s,i}-x_{s,j})^2] $

$=\frac{1}{n^2}\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}\sum^N_{s=1}\sum^N_{t>1} w_s w_t(x_{s,i}-x_{s,j})(x_{t,i}-x_{t,j})$

En el denominador se tiene :

$2\sum^N_{s=1}\sum^N_{t>1} w_s w_t\sigma_s\sigma_t=\frac{1}{n^2}\sum^N_{s=1}\sum^N_{t>1} w_s w_t\sqrt{\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(x_{s,i}-x_{s,j})^2\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(x_{t,i}-x_{t,j})^2}$.

La fracción se ve así :

$\rho=\frac{\sum^N_{s=1}\sum^N_{t>1} w_s w_t\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(x_{s,i}-x_{s,j})(x_{t,i}-x_{t,j})}{\sum^N_{s=1}\sum^N_{t>1} w_s w_t\sqrt{\sum^n_{j=1}\sum^n_{i=1}(x_{s,i}-x_{s,j})^2(x_{t,i}-x_{t,j})^2}}=\frac{\sum^N_{s=1}\sum^N_{t>1}A}{\sum^N_{s=1}\sum^N_{t>1}\sqrt{B}}$

Ahora nos fijamos en la relación entre a y B, por Cauchy-Schwarz desigualdad $A^2\leq B$ que se traduce en $\rho|\leq1$. Espero no hacer a muchos errores...

Answer 2

Hice algunos cálculos en mathematica en el 3 caso de activos. Supongamos que tenemos exposiciones $w_i,i=1,2,3$ y volatilidades $\sigma_i,i=1,2,3$ y correlaciones $\rho_{1,2},\rho_{1,3},\rho_{2,3}$. Supongamos que $\sigma_1=\sigma_2=\sigma_3=\sigma$ para algunos positivos arbitrarios $\sigma$. Para los pesos asumimos $w_2=w_3 = 0.5$ y tenemos un corto en activo el 1 de $w_1 = -0.5$. A continuación, la fórmula anterior se convierte en $$ \rho_{av(2)} = \rho_{1,2}+\rho_{1,3}-\rho_{2,3}. $$ Entonces la pregunta es si podemos encontrar válido (pos.definido matriz de correlación) los valores de las correlaciones tal que la fórmula anterior entrega de resultados por parte de la unidad de intervalo. Una opción posible es de $\rho_{1,2}=0.95, \rho_{1,3}=0.95$ y $\rho_{2,3}=0.89$ con el resultado de $1.01$!

El código de mathematica es la siguiente:

pfvar[w1_, w2_, w3_] := w1^2*[Sigma]1^2 + w2^2*[Sigma]2^2 + w3^2*[Sigma]3^2 + 2*([Sigma]1*[Sigma]2*[Rho]12*w1*w2 + [Sigma]1*[Sigma]3*[Rho]13*w1*w3 + [Sigma]3*[Sigma]2*[Rho]23*w3*w2)

impliedCorr[w1_, w2_, w3_] := (pfvar[w1, w2, w3] - (w1^2*\[Sigma]1^2 + w2^2*\[Sigma]2^2 
   + w3^2*\[Sigma]3^2))/(  2*(\[Sigma]1*\[Sigma]2*w1*w2 + \[Sigma]1*\[Sigma]3*w1*
       w3 + \[Sigma]3*\[Sigma]2*w3*w2)  )

impliedCorr[w1, w2, w3] /. w2 -> w3 /. [Sigma]2 -> [Sigma]3 /. [Sigma]3 -> [Sigma]1 /. w3 -> 0.5 /. w1 -> -0.5 // Simplificar

[Rho]12 + [Rho]13 - [Rho]23 /. [Rho]12 -> 0.95 /. [Rho]13 -> 0.95 /. [Rho]23 -> 0.89

EDIT: Gracias a @Juan he encontrado un error y corrigió $\rho_{2,3}$ a $0.89$.