Pregunta acerca de las ecuaciones y factores de riesgo.

Question

Decir que tengo dos factores de riesgo $X_1$ y $X_2$. Desviación estándar de $X_1$ es $\sigma_1$ y $\sigma_2$ para $X_2$. Además, $X_1$ tiene una media de $\mu_1$ y $X_2$ tiene una media de $\mu_2$. Correlación entre $X_1$ y $X_2$ es $\rho$.

El sistema es el siguiente:

$$\begin{eqnarray} X_1 & = & \mu_1 + \lambda_{11} U_1 \\ X_2 & = & \mu_2 + \lambda_{21} U_1 + \lambda_{22} U_2 \end{eqnarray}$$

Mi libro se lee de la siguiente manera:

"En consecuencia:
$\lambda_{11}=\sigma_1$ (1)
$\lambda_{21}^2 + \lambda_{22}^2= \sigma_2^2$ (2)
$\lambda_{21} \lambda_{11}= \rho \sigma_1 \sigma_2$ (3)"

No entiendo cómo funcionan las líneas (2) y (3).

Puede alguien por favor ayuda?

Answer 1

Si $\Sigma$ es la varianza/covarianza de la matriz de variables aleatorias $U_1, U_2, \ldots U_n$ y $V = c + w_1 U_1 + \ldots + w_n U_n$, donde $c$ es una constante, y dejamos que $\mathbf{w}$ ser el vector con los 'pesos' $w_1, w_2, \ldots, w_n$, entonces la varianza de $V$ es igual a $\mathbf{w}^{\top}\Sigma\mathbf{w}$. Además, si $T$ es otra variable aleatoria descrita por el vector de pesos $\mathbf{x}$, entonces la varianza de $T$ es $\mathbf{x}^{\top}\Sigma\mathbf{x}$, y la covarianza de los $V$ y $T$ es igual a $\mathbf{x}^{\top}\Sigma\mathbf{w}$.

En su problema, $$\Sigma = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ y usted está buscando en los pesos de los vectores $[\lambda_{11}\,0]$ y $[\lambda_{21}\,\lambda_{22}]$, por lo tanto la varianza de $X_1$ es $\lambda_{11}^2$, que es la primera ecuación, y la varianza de $X_2$ es $\lambda_{21}^2 + \lambda_{22}^2$, que es la segunda ecuación. Calcular la covarianza de $X_1$ y $X_2$ da de la tercera ecuación.

Answer 2

Usted debe ofrecer más detalles [asumo que U1 y U2 son N(0,1)], pero creo que debes leer esto: http://en.wikipedia.org/wiki/Cholesky_decomposition