¿Cómo puedo calcular la convergencia en los métodos de monte carlo?

Question

Estoy experimentando con métodos de Monte Carlo. Me gustaría medir o estimar la convergencia con el cuadro/gráfico. ¿Cómo puedo hacer eso? Puede alguien por favor me dirija a la documentación pertinente, los enlaces o incluso darme consejos o directrices generales? Gracias de antemano, Julien.

Answer 1

Generalmente usted está interesado en evaluar $E\left[ f(X_T)-f(\bar{X}_T^{(n)}) \right]$ (referido como la debilidad de la convergencia)

• $X_t$ la solución de los sde : $dX_t^x=b(X_t^x)dt+\sigma(X_t^x)dW_t$
• $\bar{X}_t^{(n)}=b(\underline{t},X_{\underline{t}}^{(n)})\cdot (t-\underline{t})+\sigma(\underline{t},X_{\underline{t}}^{(n)})\cdot (W_{\underline{t}}-W_t)$ es su Euler-continua discritized SDE, con $T/n$ su paso de tiempo.

bajo cierta regularidad supuestos tanto en el SDE y los coeficientes de rentabilidad de la función $f$ ,

1. La tasa de convergencia es $s\left(\frac{1}{n}\right)$
2. La expansión de la orden $\frac{1}{n}$: $E\left[ f(X_T)-f(\bar{X}_T^{(n)}) \right]= \sum_{i=1}^R\frac{c_k}{n^k}+O(\frac{1}{n^{I+1}})$

Una fuerte condición sería de $b\sigma,f$ se $C^\infty$, con $f$ tener polinomio de crecimiento (es decir, $\existe r>0, |f(x)|\leq C\dot(1+|x|^r)$).

Básicamente, si usted no sabe el verdadero valor de la Ue. la opción que sería un aproximado de $E\left[ f(\bar{X}_T^{n\approx\infty})\right]$ y , a continuación, traza $n\rightarrow E\left[ f(\bar{X}_T^{n\approx\infty})-f(\bar{X}_T^{(n)}) \right]$ y observar un $o(1/n)$ comportamiento (y tratar de adivinar el valor de $c_1$).

Tenga en cuenta también que el uso de la segunda afirmación se podría evitar el uso de una estimación de su opción. De hecho, considerar $\bar{X}_T^{(n)}$ y $\bar{X}_T^{(2n)}$ dos de Euler esquemas con diferentes pasos de tiempo (el segundo tiene un tiempo más pasos). Entonces, aplicando el error de expansiones para el primer programa,

$E\left[ f(X_T)-f(\bar{X}_T^{(n)}) \right]= \frac{c_1}{n}+O(\frac{1}{n^{2}})$

y luego para el segundo esquema de

$E\left[ f(X_T)-f(\bar{X}_T^{(2n)}) \right] = \frac{c_1}{2n}+O(\frac{1}{n^{2}})$

tenemos,

$ E\left[f(\bar{X}_T^{(2n)}) - f(\bar{X}_T^{(n)}) \right] = \frac{c_1}{2n}+O(\frac{1}{n^{2}})$

Finalmente, sin saber el valor exacto de su opción europea ($E(f(X_T))$) usted puede conseguir el exacto (de primer orden) de la tasa de convergencia, $n\rightarrow E\left[f(\bar{X}_T^{(2n)}) - f(\bar{X}_T^{(n)}) \right]= c_1/n$. No hace falta decir, que $c_1=n\cdot E\left[f(\bar{X}_T^{(2n)}) - f(\bar{X}_T^{(n)}) \right]$.

(Este útil expansión también conocido como el Romberg expansión también se utiliza para construir acelerado de Monte-Carlo, estimaciones, con las mismas notaciones obtenemos $E(f(X_T)-2E(X_T^{2n})+E(X_T^{n})=\frac{c_2}{n^2}$)

A (fecha) sería la referencia de Bally y Talay

Answer 2

Julien, francamente no tengo idea de cuál es su pregunta de investigación es...

Ya que son bastante vagos en la formulación de su pregunta me pueden proporcionar sólo una vaga answser...

Los siguientes trabajos académicos pueden ser de uso

http://www.jstor.org/stable/1428344 http://www.math.ethz.ch/~mschweiz/Archivos/convergen.pdf

y yo sugiero que eche un vistazo en:

La introducción de Métodos de Monte Carlo con R por Christian P. Robert · Jorge Casella

se dan ejemplos concretos de la aplicación de metodologías de monte carlo