No se puede derivar la expectativa en una subasta de segundo precio.

Question

Estoy trabajando en una SPA donde resolvemos:

$\max_{\beta \ge 0} Pr\{Ganar\}[v - \mathbb{E}(b^{[2]} \ | \ b^{[2]} \le \beta)]$

Suponemos que todas las creencias sobre las ofertas están distribuidas de manera independiente e idénticamente en $[0,1]$ dadas por la función de distribución acumulativa $F(b)$.

$b^{[2]}$ denota la segunda oferta más alta.

He encontrado que $Pr\{Ganar\} = Pr\{\beta \ge b_1, \ldots , b_n\} = F(b)^N$

En mis apuntes de clase se nos da:

$\mathbb{E}(b^{[2]} \ | \ b^{[2]} \le \beta) = \frac{1}{Pr(b^{[2]} \le beta)} \int_0^{\beta} bdF(b)^N$

Estoy asumiendo que esto proviene de $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $, pero no logro entenderlo completamente. Especialmente el $F(b)^N$ en la integral.

Answer 1

Hay $N+1$ postores. Por lo tanto, solo nos importa la segunda oferta más alta. Eso es lo mismo que encontrar la oferta más alta entre los $N$ postores restantes. La segunda oferta más alta esperada se da por:

$$b \cdot Pr[b] \cdot Pr[b \geq b_{-i}] = b \cdot f(b) \cdot F(b)^{N-1} = b \cdot dF(b)^{N}$$

Como el valor esperado es un promedio, dividimos por la probabilidad de que $b \leq \beta$, que es $F(\beta)$.

Así, tenemos:

$$\mathbb{E}[b^{[2]} | b^{[2]} \leq \beta] = \dfrac{1}{F(\beta)}\int_{0}^{\beta} bdF(b)^{N}$$

Answer 2

Dado que los $b_i$ están distribuidos de manera independiente e idénticamente en $[0,1]$ con una función de distribución acumulada $F$ y una función de densidad de probabilidad $f$, y $b^{[2]}$ denota la segunda oferta más alta, queremos encontrar $\mathbb{E}(b^{[2]}|b^{[2]}\leq \beta)$. Para hacerlo, primero encontraremos la distribución de $b^{[2]}$.

$$\Pr(b^{[2]}\leq x) = N[1-F(x)][F(x)]^{N-1} + [F(x)]^{N}= N[F(x)]^{N-1} - (N-1)[F(x)]^{N}$$ donde $N$ denota el número de postores. Entonces, la densidad de $b^{[2]}$ es $$N(N-1)\left(1 - F(x)\right)[F(x)]^{N-2}f(x)$$ En consecuencia, la densidad condicional de $b^{[2]}$ en $x\in [0, \beta]$ dado que $b^{[2]}\leq \beta$ es $$\dfrac{N(N-1)\left(1 - F(x)\right)[F(x)]^{N-2}f(x)}{\Pr(b^{[2]}\leq \beta)} $$ Por lo tanto, $$\mathbb{E}(b^{[2]}|b^{[2]}\leq \beta) = \displaystyle\frac{1}{\Pr(b^{[2]}\leq \beta)}\int_0^\beta xN(N-1)\left(1 - F(x)\right)[F(x)]^{N-2}f(x)dx$$