La convexidad de Ajuste para el futuro

Question

Vamos a $B_t$ ser la cuenta de efectivo numeraire. El futuro y el avance de los precios en el tiempo t se expresa como:

$$ Fut = E_t^Q\left[S_T\derecho],$$ $$ Fwd = \frac{E_t^Q[S_T/B_T]}{E_t^P[1/B_T]}.$$

Donde $$ \frac{dS(t)}{S(t)} = \mu dt + \sigma dW_s^Q(t),$$ $$dr(t) = -Kr(t)dt+ \alpha dW_r^Q(t),$$ $$<dW_sdW_r> = \rho dt.$$

Donde $K$ es la reversión a la media de la tasa de interés de corto $r$.

¿Cómo es la convexidad de ajuste calculado en orden a expresar el precio a futuro en términos de los precios en el futuro?

Answer 1

Suponemos que, en virtud de la probabilidad de la medida $Q$, \begin{align*} dS_t &= S_t\big(r_t dt + \sigma dW_s(t)\big),\\ dr_t &= -k\, r_t dt + \alpha dW_r(t),\etiqueta{1} \end{align*} donde $d\langle W_s(t), W_r(t)\rangle_t = \rho dt$. De $(1)$ para $s\ge t$, \begin{align*} r_s = e^{-k(s-t)}r_t + \alpha\int_t^s e^{-k(s-u)} dW_r(u). \end{align*} Entonces, por $T\ge t$, \begin{align*} \int_t^T r_s ds &=\frac{r_t}{k}\left(1-e^{-k(T-t)} \derecho)+\alpha \int_t^T\!\!\!\int_t^s e^{-k(s-u)} dW_r(u) ds\\ &=\frac{r_t}{k}\left(1-e^{-k(T-t)} \derecho)+\alpha \int_t^T\!\!\!\int_u^T e^{-k(s-u)} ds dW_r(u) \\ &=\frac{r_t}{k}\left(1-e^{-k(T-t)} \derecho)+\alpha \int_t^T\frac{1}{k}\left(1-e^{-k(T-u)} \right) dW_r(u)\\ &=r_t\beta(t, T)+\alpha \int_t^T \beta(u, T) dW_r(u), \end{align*} donde $$\beta(t, T)=\frac{1}{k}\left(1-e^{-k(T-t)} \right).$$ Por lo tanto, \begin{align*} E^Q\left(\frac{1}{B_T} \mid \mathcal{F}_t\derecho) &=\frac{1}{B_t}E^Q\a la izquierda(e^{-\int_t^T r_s ds} \mid \mathcal{F}_t \derecho)\\ &=\frac{1}{B_t} e^{-r_t\beta(t, T) + \frac{\alpha^2}{2} \int_t^T \beta^2(u, T) du}. \end{align*} Por otra parte, \begin{align*} E^Q\left(S_T \mid \mathcal{F}_t\derecho) &= S_t E^Q\a la izquierda(e^{\int_t^T r_s ds - \frac{\sigma^2}{2} (T-t) + \sigma \int_t^T dW_s(u)} \derecho)\\ &=S_t E^Q\a la izquierda(e^{r_t\beta(t, T)+\alpha \int_t^T \beta(u, T) dW_r(u) - \frac{\sigma^2}{2} (T-t) + \sigma \int_t^T dW_s(u)} \derecho)\\ &=S_te^{r_t\beta(t, T)+ \frac{\alpha^2}{2} \int_t^T \beta^2(u, T) du +\alpha \sigma \rho \int_t^T\beta(u, T) du}. \end{align*} En consecuencia, \begin{align*} C(t, T) &= \frac{Fut}{Fwd}\\ &=\frac{E^Q\left(S_T \mid \mathcal{F}_t\derecho)}{E\left(\frac{S_T}{B_T} \mid \mathcal{F}_t\derecho)/E^Q\left(\frac{1}{B_T} \mid \mathcal{F}_t\derecho)}\\ &=\frac{S_te^{r_t\beta(t, T)+ \frac{\alpha^2}{2} \int_t^T \beta^2(u, T) du +\alpha \sigma \rho \int_t^T\beta(u, T) du}}{\frac{S_t}{B_t} B_t e^{r_t\beta(t, T) - \frac{\alpha^2}{2} \int_t^T \beta^2(u, T) du}}\\ &=e^{\alpha^2\int_t^T \beta^2(u, T) du +\alpha \sigma \rho \int_t^T\beta(u, T) du}. \end{align*}

No olvides el 1/2 en la normal de la variable de la función característica.