Teorema de Girsanov - Cambio de medida

Question

Tengo problemas para entender el teorema de Girsanov. El proceso de Radon Nikodym $Z$ está definido por:

$$Z(t)=\exp\left(-\int_0^t\phi(u) \, \mathrm dW(u) - \int_0^t\frac{\phi^2(u)}{2} \, \mathrm du\right)$$

Ahora $\hat P$ es una nueva medida de probabilidad. El problema es que no entiendo cómo pasar de la antigua $P$ a la nueva. La antigua $P$ está distribuida normalmente con media $0$ y varianza $t$. Ahora supongamos que quiero saber la nueva probabilidad para un intervalo infinitesimal alrededor de $0.2$. Para eso necesito conocer el valor de $Z$ en este intervalo (evento podríamos decir). Y luego puedo multiplicar (integrar) el valor de $Z$ con la antigua $P$, y obtener la nueva $\hat P$.

Supongamos que $t$ está fijo.

No tengo ni idea de cómo calcular el valor de $Z$ para este intervalo/evento. Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Distingamos: la medida $P$ da probabilidad sobre los caminos, por lo tanto no se puede decir realmente que tenga cierta media y varianza: eso se aplicaría a una medida $P_t$ que restringe $P$ a la instancia de tiempo $t$. Ahora, si sabes que $P_t$ tiene densidad $f$ (con respecto a la medida de Lebesgue) y $\frac{\mathrm d\hat P_t}{\mathrm d P_t} = g$ entonces $\hat P_t$ tiene densidad $$ \frac{\mathrm d\hat P_t}{\mathrm d \lambda} = \frac{\mathrm d\hat P_t}{\mathrm d P_t}\cdot \frac{\mathrm d P_t}{\mathrm d \lambda} = g\cdot f. $$ Desafortunadamente, no sé si puedes obtener $g$ directamente de $Z" - de hecho, no parece que siempre puedas hacerlo de alguna manera analítica agradable ya que implica calcular expectativas condicionales bastante peculiares. Otra verificación de cordura: si hubiera una manera fácil de encontrar $g$ de $Z$, entonces solo con saber la densidad $f$ para el movimiento Browniano geométrico $dX_t = \sigma X_t\,\mathrm dW_t$ te permitiría conocer las densidades para cualquier proceso de la forma $dX_t = \mu_t\,\mathrm dt + \sigma X_t\,\mathrm dW_t$ para casi cualquier proceso adaptado $\mu_t$. Estoy bastante seguro de que incluso si $\mu_t = \mu(X_t)$ hay muchos casos en los que las densidades todavía no son conocidas.

Edit: para respaldar la intuición anterior, he calculado $g$ en términos de $Z$, y de hecho parece bastante simple $g(x) = \Bbb E[Z_t | X_t = x]$ pero su cálculo sería bastante complicado en general.