¿Cómo minimizar la diferencia entre un VaR paramétrico y un MC-VaR con hipótesis lognormal?

Question

Dado que queremos encontrar el Valor en Riesgo sólo para una cartera de acciones, hay dos métodos principales para proceder. En el problema, también suponemos que las acciones siguen un movimiento browniano geométrico.

Una simulación a escala real:

1. simular desviaciones normales B;
2. enchufe en $S_t = S_0 e^{(\mu-0.5\sigma^2)t + \sigma t B_t}$ ;
3. elija el 1% de mayor valor de la cartera. Llama a esto $V_p$ ;
4. El VaR es entonces $V_t - V_p$ .

donde $V_t$ es el valor actual de la cartera.

Esta metodología es, por supuesto, buena, pero puede fallar a la hora de dar una solución precisa rápidamente. Por lo tanto, se puede utilizar la solución rápida de la métrica del riesgo y suponer que la rentabilidad aritmética es igual a la rentabilidad logarítmica ( $\log(1+x) =x$ ) y uno obtiene su método:

Versión paramétrica:

1. El rendimiento de la cartera es una combinación lineal de gaussianas, y por tanto una gaussiana univariante en sí misma (Y).
2. El VaR es entonces $\Phi(0.01)\sigma_Y V_t$

Ambos métodos pueden justificarse por separado, pero mi problema es que quiero alternar el uso de los dos métodos (debido a las limitaciones de tiempo en algunos casos). Un observador brillante de esta medida de VaR verá entonces que la cantidad salta hacia arriba y hacia abajo dependiendo del método utilizado (especialmente para las acciones de alta volatilidad). ¿Es posible, por tanto, modificar de algún modo la medida paramétrica del VaR para obtener mejores resultados?

Nota:

• Se asume como gaussiano para simplificar.
• El caso multivariante es, por supuesto, la cuestión importante, pero puedes hacer la generalización tú mismo).
• Por supuesto, se pueden utilizar mejores técnicas de simulación (esta no es la cuestión que se aborda aquí).
• Además, la simulación de los retornos aritméticos no resolverá el problema.

Answer 1

Una visión probabilística sobre su simulación a escala real. En los pasos 1-3 se calcula el cuantil 0,99 de la distribución lognormal con parámetros $\ln N(\ln S_0 +(\mu - \frac{\sigma^2}{2})t,\sigma^2 t^2)$ .

El cdf de la distribución lognormal es $\Phi(\frac{\ln x-\mu}{\sigma})$ Así, se puede calcular $V_p$ a través de $V_p=e^{\ln S_0 +(\mu - \frac{\sigma^2}{2})t + q_{0.99} \sigma t}$

donde $q_{0.99}$ definido a través de $\Phi(q_{0.99})=0.99$

Sustituyendo Monte-Carlo en los pasos 1-3 por esta fórmula, calculará el VaR de forma rápida y precisa.

Answer 2

Si se encuentra en una situación no gaussiana, no conoce explícitamente la distribución de $S_t$ , y hay que recurrir a aproximaciones (gaussianas, mezcla de gaussianas, etc.) o a simulaciones de Monte Carlo, se puede eliminar el ruido de las simulaciones de Monte Carlo reutilizando los mismos números aleatorios para generar los datos. Esto se suele conseguir estableciendo explícitamente la semilla aleatoria antes de los cálculos.

Pero esto no es un resultado "mejor": la variación de los datos se ha ocultado, y se ha introducido un sesgo constante y desconocido. Lo ideal sería proporcionar algún tipo de intervalo de confianza en el estimador del VaR: eso explicará las variaciones. Para obtener un resultado "mejor", hay que reducir ese intervalo.

Si también quiere ocultar los saltos resultantes del cambio en el método utilizado para calcular el VaR, puede estimar la diferencia entre ambos (calculando el VaR con ambos métodos, cuando se disponga de tiempo), asumir que es aproximadamente constante, y añadirla al estimador que se quiere "corregir". (Yo me abstendría de hacerlo si el sesgo es demasiado grande, en comparación con el intervalo de confianza).