En la teoría de las cópulas se quiere modelar una distribución multivariante (a menudo bivariante) y mantener los marginales fijos.
Por lo tanto, tienes variables aleatorias $X$ y $Y$ con cdf $F_X(x) = P[X \le x]$ y $F_Y(y) = P[Y \le y]$ y quieres encontrar algo $F_{X,Y}(x,y) = P[X \le x, Y \le y]$ de tal manera que cuando miras a los marginales obtienes $F_{X,Y}(x, \infty ) = F_X(x)$ y lo mismo para $Y$ . Debido a toda esta teoría esto puede hacerse acoplando las 2 distribuciones usando otra función, la cápula (función).
Antes de proceder, note que $F_X(x)$ es sólo una función de $x$ . Podemos mirar la variable aleatoria $F_X(X)$ . Entonces si $F_X$ es invertible, sostiene que $$ P[F(X) \le x] = P[X \le F^{-1}(x)] = F(F^{-1}(x)) = x $$ para $x \in (0,1)$ y esta es la definición de una distribución uniforme. Así que para un cdf continuo $F$ tenemos que $F(X)$ es uniforme. Por otro lado, si $U$ es uniforme y $F$ es un cdf continuo entonces $F^{-1}(U)$ tiene distribución $F$ .
Así que si queremos unir las distribuciones $F_X$ y $F_Y$ miramos cómo podemos describir la distribución mutlivariante de los uniformes y luego simplemente transformarlos de nuevo por $F_X ^{-1}$ y $F_Y ^{-1}$ .
Estos hechos básicos sobre los uniformes y los cdf me ayudan a entender el enfoque de la cópula.
Si el cdf no es continuo entonces las cosas se complican.
