¿Cómo puedo comparar las previsiones de volatilidad implícita a 30 días con las previsiones GARCH?

Question

Estoy tratando de entender si hay una buena manera de comparar las previsiones de la volatilidad de diferentes fuentes, es decir, la volatilidad implícita y GARCH. Voy a esbozar algunas afirmaciones que creo y si alguien pudiera verificar si son correctas o explicar por qué estoy equivocado se lo agradecería.

$\textbf{1.}$ La volatilidad implícita a 30 días es la media de la volatilidad implícita de una opción con un vencimiento a 30 días. El valor está anualizado y, por tanto, representa (aproximadamente) una medida de la desviación estándar de la $\textit{prices}$ de las acciones durante el próximo año. Para obtener un valor diario de la volatilidad implícita a 30 días utilizamos $$\sigma_{\text{day}}=\frac{\sigma_{\text{annualized}}}{\sqrt{365}}$$

$\textbf{2.}$ Los modelos GARCH deben aplicarse siempre a los rendimientos o a los logaritmos de los rendimientos en lugar de a los precios, ya que a menudo trabajamos bajo la hipótesis de normalidad y creemos que los rendimientos siguen una distribución normal mucho más que los precios. El $\textit{volatility}$ El resultado de los modelos GARCH es la varianza condicional, $\text{Var}[y_t|y_{t-1},...]$ que creo que es la varianza cond. de los rendimientos utilizados para modelar el GARCH? Creo que esto es así ya que la modelización de los retornos y los retornos logarítmicos dan diferentes varianzas que no serían consistentes si GARCH diera como resultado la varianza cond. del precio de la acción subyacente.

De ahí que mis principales preguntas sean,

Dado que la volatilidad implícita representa una medida de los cambios en el precio subyacente de la acción, y GARCH produce la varianza condicional de los rendimientos, ¿cómo se pueden comparar los dos? ¿Existe una forma de cambiar las previsiones GARCH para que hablemos de la varianza de los precios?

Dado que tengo previsiones para la volatilidad implícita, y previsiones GARCH (y puedo realizar alguna transformación para obtenerlas tanto en términos de precios como de rendimientos, véase la pregunta anterior), ¿cómo puedo comparar estas previsiones fuera de muestra con la posterior volatilidad realizada? ¿Se haría esto mediante una regresión Mincer-Zarowitz, indicando una medida de error relevante?

Una última pregunta, si utilizo un modelo de volatilidad estocástica para dar la varianza condicional, como el de Taylor (1986) (implementado en el $\texttt{stochvol}$ paquete) ¿puedo realizar el mismo tipo de transformación utilizado en las previsiones GARCH para obtener la volatilidad de los precios en lugar de los rendimientos?

Como puedes ver, estoy relativamente confundido sobre las diferentes maneras en que uno puede cotizar/modelar/predecir la volatilidad. Si alguien puede responder a mis preguntas, por favor, hágalo :) Gracias

Answer 1

Esta es una respuesta parcial a su 2. afirmación. El puntos principales son,

• el condicional (sobre la información hasta el momento $t-1$ ) la varianza del precio $P_t$ es la misma que la varianza condicional del "retorno" $P_{t}-P_{t-1}$ ;
• la varianza condicional de $\log P_t$ es la misma que la varianza condicional de $\log P_t - \log P_{t-1}$ ;
• la varianza condicional de $P_t$ no es lo mismo que la varianza condicional de $\log P_t$ (y de forma similar para $P_{t}-P_{t-1}$ vs $\log P_{t} - \log P_{t-1}$ ).

Por lo tanto, lo siguiente es incorrecto:

Los modelos GARCH deben aplicarse siempre a los rendimientos o a los logaritmos de los rendimientos y no a los precios

Supongamos que $P_t$ es la suma de dos componentes:

• un determinista $\mu_t=g(I_{t-1})$ , donde $g(\cdot)$ es alguna función y $I_{t-1}$ es información hasta el momento $t-1$ y
• un estocástico $\varepsilon_t$ .

El único componente desconocido hasta el momento $t-1$ es $\varepsilon_t$ cuya varianza condicional es la varianza condicional de $P_t$ (condicionado a $I_{t-1}$ ).

Mientras tanto, el "retorno" $P_{t}-P_{t-1}=g(I_{t-1})+\varepsilon_t-g(I_{t-2})-\varepsilon_{t-1}$ . Aquí, una vez más, el único componente que se desconoce en el momento $t-1$ es $\varepsilon_t$ por lo que la varianza condicional de $P_{t}-P_{t-1}$ es la varianza condicional de $\varepsilon_t$ -- lo mismo que para $P_t$ .

La misma lógica se aplicaría si se descompusiera el precio de forma multiplicativa en lugar de aditiva.

Sin embargo, las cosas cambian si se consideran logaritmos en lugar de niveles. Si se asume $\log P_t=g(I_{t-1})+\varepsilon_t$ se obtendrá una varianza condicional diferente que si se hubiera supuesto $P_t=g(I_{t-1})+\varepsilon_t$ . Esto se puede demostrar con un contraejemplo (cualquiera serviría).