Gráfico integral estocástico

Question

Como podemos representar la integración de $f(x)$ en $[a,b]$ con el gráfico de abajo,

Me preguntaba cómo representar la siguiente integral con $X(t)$ un movimiento Browniano, $f(t)$ cualquier función y $t_j = \frac {jt}{n} $ (fuente : Willmot )

Answer 1

Es $f$ una función determinante y diferenciable del tiempo? Si es así, escriba $$ fdX = d(fX) - X (df/dt) dt $$ La integral del primer término de la derecha es sólo el valor terminal, el segundo término se parece a su gráfico pero será dentado porque $X$ tiene caminos irregulares.

Answer 2

Se visualiza mejor en 3D. El 2D funciona para Riemann (cuando el integrador es x, como en dx) pero para Riemann-Stieltjes (cuando el integrador es una función de x, por ejemplo, $ \int {f(x)dg(x)}$ ), la visualización en 3D es más reveladora. También se puede interpretar el gráfico 3D en términos de su proyección en 2D.

Cuando el integrador es Browniano, como @ ilovevolatilidad lo señaló, el $dX(t)$ será muy zigzagueante, puedes visualizar la integral, pero este zigzag hace que la prueba de la convergencia sea difícil. De ahí que la interpretación de la integral estocástica en términos de las funciones simples, en oposición a la suma de los rectángulos, se utilice en la integración estocástica.