Cobertura de error en un modelo de volatilidad estocástica

Question

Me gustaría saber cuánto error que hago cuando puedo cubrir una opción de compra mediante el modelo Black Scholes en un mercado que en realidad es gobernado por una volatilidad estocástica del proceso, tales como $$dS_t = rS_tdt + \sigma_t S_tdW_t^P$$ donde $(\sigma_t)_{t\geq 0}$ es algunos procesos estocásticos y $(W_t^Q)_{t\geq 0}$ es el movimiento Browniano bajo el riesgo de neutro medida. Sólo por el bien de la claridad, el Black Scholes modelo está dada por $$dS_t = rS_tdt + \sigma_{BS} S_tdW_t^P$$ donde $\sigma_{BS}$ es algún conocido constante.

En primer lugar quiero para determinar cómo mi cobertura de la cartera evoluciona. Yo denotamos por $V$. Hay tres cosas que se necesitan para imponer en esta cartera. El número de acciones en que está dada por el Black Scholes delta (así que tengo que calcular en base a $\sigma_{BS}$), la cartera de auto-financiación y su valor en el inicio tiene que ser igual a la de Black Scholes precio de la opción call. A continuación, se debe sostener que $$dV_t = \Delta_{BS} dS_t + (V_t - \Delta_{BS} S_t)rdt \qquad V_0 = C_0$$ Esto, entonces los rendimientos $$dV_t = rV_tdt + \Delta_{BS}\sigma_t S_tdW_t^Q \etiqueta{1}$$

Por otro lado el precio de la opción call bajo el Black Scholes modelo obedece a la SDE $$dC_t = \underbrace{\left(\theta_{BS} + \Delta_{BS}rS_t + \frac{1}{2}\Gamma_{BS}\sigma_{BS}^2S_t^2\derecho)dt}_{rC_tdt} + \Delta_{BS}\sigma_{BS}S_tdW_t^Q \etiqueta{2}$$

Yo defino la cobertura de error como $e_t = V_t - C_t$ y estoy interesado en $e_T$ donde $T$ es de la expiración de la opción de llamada.

Puedo restar $(2)$ de $(1)$, pero los términos con el movimiento Browniano no desaparecen y de acuerdo a las notas que estoy mirando yo debe obtener algo como $\int_0^T\Gamma_{BS}(\sigma_{BS}^2 - \sigma_t^2)\ldots dt$. No estoy seguro de si he definido los objetos de la manera correcta. Un poco de ayuda sería apreciada.

Más detalles en mi razonamiento: Permítanme frase mi pregunta de una manera diferente. Tal vez estoy haciendo algo mal, mientras que la conversión de mi interpretación de los enunciados matemáticos. Sólo por el bien del argumento olvidar el hecho de que el Black Scholes modelo existe y nos da que el mercado se rige por un SV modelo. En el momento $0$ puedo vender una opción call (huelga $K$, madurez $T$) en este mercado y quiero cubrir. Ahora, en lugar de la cobertura correctamente, tengo $\Delta^{mal}$ número de acciones en cada momento donde $$\Delta^{mal}_t = \frac{\log\left(\frac{S_t}{K}\derecho) + \left(r + \frac{1}{2}\sigma_{mal}^2\right)(T-t)}{\sigma_{mal}\sqrt{T t}}$$ con $\sigma_{mal}$ de ser una constante número positivo que puedo elegir.

Con el dinero que obtenga de la venta, $V_0$, puedo configurar mi porfolio por la compra de $\Delta^{mal}_0$ número de acciones y préstamos/préstamos de $V_0 - \Delta^{mal}_0S_0$ en los mercados de dinero. Ya quiero mi cartera para ser auto-financiación, me reequilibrar que

$$dV_t = \Delta_{mal} dS_t + (V_t - \Delta_{mal} S_t)rdt$$

Bajo el SV modelo, esto se convierte en $$dV_t = rV_tdt + \Delta_{mal}\sigma_tS_tdW_t$$

Si en lugar de elegir algunas constantes $\sigma_{mal}$ en $\Delta^{mal}_t$, yo había hecho el derecho a decisiones de cobertura, se seguiría que en la madurez $V_T = \max(S_T-K,0)$. Pero desde que la cubierta de forma incorrecta, no será cierto que $V_T = \max(S_T-K,0)$ y esa diferencia es la cobertura de error en mi interpretación.

Answer 1

Vamos a suponer que en el tiempo $t$ convertirse en la duración de una opción que desea de precio y riesgo de manejar bajo la BS marco. El delta-cubierta de la cartera en el tiempo $t$ lee $$ \Pi_t = (V^{BS}(t) - \Delta_{BS} S_t) - \frac {V^{BS}_t - \Delta_{BS} S_t )}{B_t} B_t \tag{0}$$ donde la primera parte en la RHS denota su opción larga y corta delta de la posición y la segunda parte de las cifras del saldo de efectivo requerido para financiar la posición anterior (libre de riesgo del mercado de dinero de la cuenta). En el tiempo $t$, el valor de la cobertura de la cartera o el error de replicación por lo tanto, es cero $e_t = \Pi_t = 0$.

Suponiendo que el stock no paga dividendos, tenemos desde el auto-financiamiento de la propiedad \begin{align} d\Pi_t &= dV^{BS}_t - \Delta^{BS}dS_t - \frac {V^{BS}_t - \Delta^{BS} S_t)}{B_t} dB_t \\ &= dV^{BS}_t - \Delta^{BS}dS_t - (V^{BS}_t - \Delta^{BS} S_t)r dt \etiqueta{1} \end{align} Ahora, a partir de la fórmula de Itô (y en nuestra modelización de la asunción de una 1D Markov modelo de difusión en $S_t$) $$ dV^{BS}_t = \theta^{BS} dt + \Delta^{BS} dS_t + \frac{1}{2} \Gamma^{BS} d\langle S \rangle_t $$ tales que $(1)$ es equivalente a $$ d\Pi_t = \theta^{BS} dt + \frac{1}{2} \Gamma^{BS} d\langle S \rangle_t - (V^{BS}_t - \Delta^{BS} S_t) r dt \etiqueta{2} $$

Ahora usamos 2 informaciones importantes. En primer lugar, que la función de precio $V^{BS}(t,S)$, por definición, verifica la BS de la PDE $$ \theta^{BS} + rS\Delta^{BS} + \frac{1}{2} \Gamma^{BS} \sigma_{BS}^2 S^2 - rV^{BS} = 0 $$ tales que $(2)$ puede ser reescrita como $$ d\Pi_t = \frac{1}{2} \Gamma^{BS} \left( d\langle S \rangle_t - \sigma_{BS}^2 S^2 dt \derecho) \etiqueta{3}$$ Segundo, el hecho de que el mercado realmente se comporta de forma estocástica de la moda, diferente de lo que es postulado por el modelo de $$ dS_t = \cdot + \sigma_t S_t dW_t $$ de modo que $(3)$ se convierte en $$ d\Pi_t = \frac{1}{2} \Gamma^{BS} S_t^2 \left( \sigma_t^2 - \sigma_{BS}^2 \derecho) dt $$ El total de cobertura de error hasta la madurez, a continuación, escribe: \begin{align} e_T &= e_t + \int_t^T d\Pi_u \\ &= \frac{1}{2} \int_t^T \Gamma^{BS}(u,S_u) S_u^2 \left( \sigma_u^2 - \sigma_{BS}^2 \derecho) du \end{align}

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Aquí hay una respuesta que sigue a tus ediciones. Ahora estamos de precios con una Volatilidad Estocástica del modelo, mientras que el uso de un "mal" Delta, por ejemplo, que la dada por algún modelo Black-Scholes. Tenemos

\begin{align} \Pi_t &= (V(t) - \Delta_{BS} S_t) - \frac{(V_t - \Delta_{BS} S_t )}{B_t} B_t \\ d\Pi_t &= dV_t - \Delta^{BS}dS_t - (V_t - \Delta^{BS} S_t) rdt \\ &= \left( {\color{blue}{\frac{\partial V}{\partial t} dt}} + \frac{\partial V}{\partial S} dS_t + \frac{\partial V}{\partial v} dv_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} d\langle S \rangle_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial v^2 } d\langle v \rangle_t + \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial v } d\langle S, v \rangle_t \derecho) - \Delta^{BS}dS_t - ( {\color{blue}{V_t}} - \Delta^{BS} S_t) {\color{blue}{rdt}} \end{align} puesto que ahora el marco de modelización es en 2D de Markov en $(S_t, v_t=\sigma_t^2)$ (lo que exige bivariante Itô para expresar $dV_t$). Desde allí, usted puede reemplazar algunos de los términos (en azul) mediante la fijación de precios de la PDE verificado por la función $V(t,S,v)$.

Pero este PDE es, por supuesto, el modelo específico. Considerar la Heston caso. Tendrías: $$ {\color{blue}{\frac{\partial V}{\partial t}}} + \frac{\partial V}{\partial S_t} r S_t + \frac{\partial V}{\partial v_t} \left( \kappa (\theta - v_t) \derecho) + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S_t^2} v_t S_t^2 + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial v_t^2} \xi^2 v_t + \frac{\partial^2 V}{\partial v_t \partial S_t} \rho \xi v_t S_t - {\color{blue}{r V_t}} = 0 $$ tal que \begin{align} d\Pi_t &= \left( \frac{\partial V}{\partial S} - \Delta_{BS} \right) (dS_t - rS_t dt) \\ &- \frac{\partial V}{\partial v} \left( \kappa (\theta - v_t) \derecho) dt - \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} v_t S_t^2 dt - \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial v^2} \xi^2 v_t dt - \frac{\partial^2 V}{\partial v \S parcial} \rho \xi v_t S_t dt \\ & + \frac{\partial V}{\partial v} dv_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} d\langle S \rangle_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial v^2 } d\langle v \rangle_t + \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial v } d\langle S, v \rangle_t \end{align} y, finalmente, \begin{align} d\Pi_t &= \left( \frac{\partial V}{\partial S} - \Delta_{BS} \right) (dS_t - rS_t dt) \\ &+ \frac{\partial V}{\partial v} \left( dv_t - \kappa (\theta - v_t) dt \derecho) \\ &+ \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \left( d\langle S \rangle_t - v_t S_t^2 dt \derecho) \\ &+ \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial v^2 } \left( d\langle v \rangle_t - \xi^2 v_t dt \derecho) \\ &+ \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial v }\left( d\langle S, v \rangle_t - \rho \xi v_t S_t dt \derecho) \end{align} De nuevo a la conclusión de que escribir que $e_T = \int_t^T d\Pi_u$. Nota los términos adicionales debido a (i) el hecho de que usted ha delta-coberturas mediante el "mal" delta; (ii) la volatilidad de los movimientos (aquí instantáneo de la varianza) son estocásticos y potencialmente correlación para detectar movimientos. Por último ten en cuenta que si $v_t$ es no estocástica, pero igual a $\sigma^2$ y si uso el derecho de Delta, a continuación, al final de el mismo resultado que el anterior.