Cómo fueron estos SDE derivados?

Question

Puede alguien darme una explicación detallada de cómo por debajo de las ecuaciones (3) y (4) se deriva de (1) y (2)? \begin{align*} \frac{dF_{t,T}}{F_{t,T}} &=\sigma e^{-\lambda(T-t)}dB_t, \etiqueta{1}\\ \ln(F_{t,T})&=\ln(F_{0,T})-1/2\int_{0}^{t}\sigma^2 e^{-2\lambda(T-s)}ds+\int_{0}^{t}\sigma e^{-\lambda(T-s)}dB_s.\la etiqueta{2} \end{align*} Dado $\ln(S_t)=\ln(F_{t,t})$, tenemos: \begin{align*} \frac{dS_t}{S_t}=(\mu_t-\lambda \ln(S_t))dt+\sigma dB_t,\etiqueta{3} \end{align*} donde \begin{align*} \mu_t=\frac{\partial \ln(F_{0,t})}{\partial t} +\lambda \ln(F_{0,t})+\frac{1}{4}\sigma^2(1-e^{-2\lambda t}). \etiqueta{4} \end{align*} O cualquier cosa relacionada con ellos va a ser útil.

Answer 1

De $(2)$, \begin{align*} \ln S_t &=\ln F_{t, t} \\ &= \ln F_{0, t}-\frac{1}{2}\int_0^t\sigma^2 e^{-2\lambda (t-s)}ds+\int_0^t \sigma e^{-\lambda(t-s)} dB_s\\ &=\ln F_{0, t}-\frac{\sigma^2}{4\lambda} \left(1-e^{-2\lambda t}\derecho)+e^{-\lambda t}\int_0^t \sigma e^{\lambda s} dB_s. \end{align*} A continuación, \begin{align*} \lambda e^{-\lambda t}\int_0^t \sigma e^{\lambda s} dB_s = \lambda \ln S_t - \lambda \ln F_{0, t} + \frac{\sigma^2}{4} \left(1-e^{-2\lambda t}\derecho). \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} d\ln S_t &= \left(\frac{\partial \ln F_{0, t}}{\partial t}-\frac{\sigma^2}{2}e^{-2\lambda t} - \lambda e^{-\lambda t}\int_0^t \sigma e^{\lambda s} dB_s\derecho)dt +\sigma dB_t\\ &=\left[\frac{\partial \ln F_{0, t}}{\partial t}-\frac{\sigma^2}{2}e^{-2\lambda t}+\lambda \ln F_{0, t} - \frac{\sigma^2}{4} \left(1-e^{-2\lambda t}\derecho) -\lambda \ln S_t\derecho]dt + \sigma dB_t\\ &=\left(\frac{\partial \ln F_{0, t}}{\partial t}+\lambda \ln F_{0, t} -\frac{\sigma^2}{4} - \frac{\sigma^2}{4} e^{-2\lambda t} -\lambda \ln S_t\derecho)dt + \sigma dB_t. \end{align*} Tenga en cuenta que \begin{align*} d\langle \ln S, \ln S \rangle_t= \sigma^2 dt. \end{align*} Por el lema de Ito, \begin{align*} dS_t &= de^{\ln S_t}\\ &= e^{\ln S_t} d \ln S_t + \frac{1}{2}e^{\ln S_t}d\langle \ln S, \ln S \rangle_t\\ &=S_t d \ln S_t + \frac{1}{2} \sigma^2 S_t dt\\ &= S_t\left[\left(\frac{\partial \ln F_{0, t}}{\partial t}+\lambda \ln F_{0, t} -\frac{\sigma^2}{4} - \frac{\sigma^2}{4} e^{-2\lambda t} -\lambda \ln S_t\derecho)dt + \sigma dB_t + \frac{\sigma^2}{2} dt \derecho]\\ &=S_t\big[\left(\mu_t - \lambda \ln S_t\derecho)dt + \sigma dB_t\grande], \end{align*} donde \begin{align*} \mu_t = \frac{\partial \ln F_{0, t}}{\partial t}+\lambda \ln F_{0, t} +\frac{\sigma^2}{4}\left(1 - e^{-2\lambda t}\derecho). \end{align*}