Dos movimientos brownianos correlacionados

Question

¿Es cierto? _( ver aquí (nota 2, p.22 / p.14, sin pruebas)_ que podemos obtener dos movimientos brownianos discretizados $W_t^1, W_t^2$ con correlación $\rho$ haciendo

$$d W_t^1 \sim \mathcal N(0,\sqrt{dt})$$

$$d W_t^2 = \rho\, d W_t^1 + \sqrt{1-\rho^2} dZ_t$$ con $dZ_t \sim \mathcal N(0,\sqrt{dt})$ ?

Si esto es cierto, podríamos simularlos fácilmente en Python haciendo:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

n = 1000000; dt = 0.01; rho = 0.8
dW1 = np.random.normal(0, np.sqrt(dt), n)
dW2 = rho * dW1 + np.sqrt(1 - rho **2) * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), n)
W1 = np.cumsum(dW1)
W2 = np.cumsum(dW2)
plt.plot(W1)
plt.plot(W2)
plt.show()

¿Es esto correcto?

Answer 1

Primero hay que corregir la fórmula a: $$ W_t^2 = \rho W_t^1 + \sqrt{1-\rho^2} Z_t, $$ donde $Z_t$ es un BM independiente de $W_t^1$ Si calculas la varianza y la covarianza, verás que es cierto: $$ V[W_t^1] = t $$ y $$ V[W_t^2] = \rho^2 V[W_t^1] + (1-\rho^2) V[Z_t] = \rho^2 t + (1-\rho^2) t = t, $$ que es la varianza deseada.

Para la covarianza se obtiene $$ Cov[W_t^1,W_t^2] = \rho Cov[W_t^1, W_t^1] + \sqrt{1-\rho^2} Cov[W_t^1, Z_t] $$ que da (porque $Cov[W_t^1, W_t^1] = V[W_t^1]$ y por indpenencia de $W_t^1$ y $Z_t$ : $$ Cov[W_t^1,W_t^2] = \rho t + 0, $$ y señalando que $\sqrt{V[W_t^1]} = \sqrt{V[W_t^2]} = \sqrt{t}$ obtenemos $$ Cor[W_t^1,W_t^2] = \frac{Cov[W_t^1,W_t^2]}{\sqrt{V[W_t^1]} \sqrt{V[W_t^2]} } = \frac{\rho t}{t} = \rho. $$

Answer 2

Aquí está el enfoque general que puedes seguir para generar dos variables aleatorias correlacionadas. Supongamos que, X e Y son dos variables aleatorias, tales que: $$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$$ $$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$$ y $$cor(X,Y)=\rho$$ Ahora considere: $y=bx + e_i$ , donde $x$ $(=\frac{X-\mu_1}{\sigma_1}$ ) y $y$ $(=\frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}$ ) siguen ambos una distribución normal estándar , tal que $cor(x,y)=\rho. $ Para la variante normal estándar, $b= \rho$ . Así que tenemos:

$$y=\rho x + e_i$$

Ahora, aquí está el algoritmo, usted puede seguir:

1) Generar $n$ Variable normal estándar para $x$ .

2) Desde, $e_i \sim N(0, 1-\rho^2)$ . Así que genera $n$ Variable normal como $e_i$ de una distribución normal con media 0 y varianza $1-\rho^2$ .

3) Obtenga $y=\rho x + e_i$ .

4) Convierta sus números normales en normales (recuerde que la correlación es independiente del cambio de origen y escala)

Código R para simular el GBM correlacionado:

corGBM <- function(n, r, t=1/365, plot=TRUE) {
#n is number of samples 
#r is correlation
#t is tick step
x <- rnorm(n, mean=0, sd= 1)
se <- sqrt(1 - r^2) #standard deviation of error
e <- rnorm(n, mean=0, sd=se)
y <- r*x + e

X <- cumsum(x* sqrt(t))
Y <- cumsum(y* sqrt(t))
Max <- max(c(X,Y))
Min <- min(c(X,Y))

if(plot) {
plot(X, type="l", ylim=c(Min, Max))
lines(Y, col="blue")
}
return(cor(x,y))
}

#sample result
corGBM(10000,.85)
[1] 0.8523341