Así que estoy un poco adivinar lo que significa realmente por la media logarítmica - supongo que te refieres a la logarítmica promedio de los retornos - donde la media de la media geométrica.
$$
\left( \prod_{i=0}^n a_i \derecho)^{\frac{1}{n}}
$$
donde $a_i$ son nuestros devuelve. Tenemos que hacer una suposición de aquí - que su subyacente es descrito por $\mathrm{d}S = \mu S \mathrm{d}t + \sigma S \mathrm{d}W$ que nuestros procesos se desarrolla como $S_{t+\mathrm{d}t} = S_t e^{(\mu - \frac{1}{2} \sigma^2)\mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}W_t}$. es decir, nuestro retorno es de $e^{(\mu - \frac{1}{2} \sigma^2)\mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}W_t}$, que es lo que queremos para comparar la media aritmética y eometric promedios de.
En primer lugar, el cálculo de la media aritmética, a continuación:
Cálculo De La Media Aritmética
En definitiva creo que usted sólo tendrá que ir a través de la álgebra de la media logarítmica, y entonces las cosas de abajo le dará el resto de lo que usted desea.
A menos que, usted no es realmente el logaritmo de la media, como se describe aquí.
Primero se toma el siguiente, que supongo que saben
$$
\begin{align}
e^x y= 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \ldots\\
e^x &= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}x^k \\
\end{align}$$
Ahora, si $X$ es una variable aleatoria normalmente distribuida, $X \sim \mathcal{N}(\mu\sigma)$, entonces lo primero que se puede dividir la media, de tal manera que tenemos que $X = \mu + Y$ donde $Y\sim \mathcal{N}(0,\sigma)$, y tenemos $Z = e^X = e^{\mu + Y} = e^\mu e^Y$
$$
\begin{align}
\mathbb{E}[Z] = \mathbb{E}[e^\mu e^Y] &= e^\mu \mathbb{E}[\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}Y^k]\\
&= e^\mu\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\mathbb{E}[Y^k]\\
\end{align}$$
Donde cada uno de los $\mathbb{E}[Y^k]$ son $k^\mathrm{th}$ momentos de $Y$, y dado que $\mu_Y=0$, que son iguales a los momentos principales, las cuales están dadas por:
$$ \mathbb{E}[Y^k] =
\begin{casos}
0 & \mathrm{if\ }k \mathrm{\ es\ impar}\\
\sigma^k (k-1)!! & \mathrm{if\ }k \mathrm{\ es\, incluso}\\
\end{casos}$$
Así que ahora sólo tenemos unos álgebra a hacer:
$$
\begin{align}
\mathbb{E}[Z] &= e^\mu\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\mathbb{E}[Y^k]\\
&= e^\mu\sum\limits_{k=0, \mathrm{incluso}}^{\infty} \frac{1}{k!}\sigma^k (k-1)!!\\
&= e^\mu\sum\limits_{k=0, \mathrm{incluso}}^{\infty} \frac{1}{k!!}\sigma^k\\
\end{align}
$$
Para ese último término, vamos a ampliar y ver si podemos ver algo:
$$
\begin{align}
\sum\limits_{k=0, \mathrm{incluso}}^{\infty} \frac{1}{k!!}\sigma^k &= 1 + \frac{1}{2}\sigma^2 + \frac{1}{8}\sigma^4 + \frac{1}{48}\sigma^6 + \ldots\\
&= \frac{1}{0!}\left(\frac{\sigma^2}{2}\right)^0
+ \frac{1}{1!}\left(\frac{\sigma^2}{2}\right)^1
+ \frac{1}{2!}\left(\frac{\sigma^2}{2}\right)^2
+ \frac{1}{3!}\left(\frac{\sigma^2}{2}\right)^3
+ \ldots \\
&= e^{\frac{\sigma^2}{2}}
\end{align}
$$
Así que volvemos
$$
\begin{align}
\mathbb{E}[Z] &= e^\mu\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}\mathbb{E}[Y^k]\\
&= e^\mu e^{\frac{\sigma^2}{2}}\\
&= e^{\mu +\frac{\sigma^2}{2}}\\
\end{align}
$$
Media Geométrica
En la de abajo, la suma es el producto/sumas largo de todo el período de tiempo, que luego se cancela con el recíproco de energía.
$$
\begin{align}
\mathbb{E} \left[ \left( \prod_{i=0}^n a_i \derecho)^{\frac{1}{n}} \right] =& \mathbb{E} \left[ \left( \prod_{i=0}^n e^{(\mu -\frac{1}{2}\sigma^2)\mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}W} \derecho)^{\frac{1}{n}} \right] \\
=& \mathbb{E} \left[ \a la izquierda( e^{\sum_{i=0}^n (\mu -\frac{1}{2}\sigma^2)\mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}W } \derecho)^{\frac{1}{n}} \right]\\
=& e^{-\frac{1}{2}\sigma^2} \mathbb{E} \left[ \a la izquierda( e^{ \mu + \sigma \tilde{X}} \right) \right]\\
\end{align}
$$
Que es essentialyl solo el de arriba, pero con el más negativo de la mitad de la varianza - yo.e la diferencia que estás buscando.
Esto ocurre debido a que la media que estamos viendo es el promedio geométrico de los rendimientos esperados, que son esencialmente la media aritmética de los procesos estocásticos.
Es que lo que fueron después? O desea más desarrolladas?
