Estoy curioso sobre el destino de su pregunta. Es rara vez se pone como
$$
\mathbb{E}\left[\int_0^{\tau}X_t{\rm d}t\Bigg|X_{\tau}=a\derecho],
$$
porque, según su declaración, $\tau$ se define como
$$
\tau=\inf\left\{t>0:X_t=a\derecho\}.
$$
Siguiendo esta definición, es necesario que $X_{\tau}=a$. Por lo tanto es necesario estar condicionado.
Hasta donde yo sé, este tipo de preguntas suele pedir para determinar
$$
\mathbb{E}\left[\int_0^{\tau}X_t{\rm d}t\Bigg|X_0=x\right],
$$
si no se especifica el valor inicial de $X_0$. Por lo tanto en este post, voy a ser el razonamiento con esta forma de esperanza condicional.
Además, se puede considerar un caso más general. Supongamos que $\mu$ a largo plazo es la posición esperada de $X_t$, que comienza a partir de $X_0=x$. Desde el $x>\mu$ caso y el valor de $x<\mu$ caso son simétricas, podemos, sin pérdida de generalidad, se centran en la $x>\mu$ caso.
Ahora, permítanme poner nuestro destino en una forma clara.
Considere la posibilidad de un general de Ornstein-Uhlenbeck
$$
{\rm d}X_t=\theta\left(\mu-X_t\right){\rm d}t+\sigma{\rm d}W_t.
$$
Definir un primer paso del tiempo con respecto a $X_t$ como
$$
\tau=\inf\left\{t>0:X_t=a\derecho\},
$$
donde $a\in\mathbb{R}$ es un parámetro fijo. Con estos ajustes, determinar
$$
\mathbb{E}\left[\int_0^{\tau}X_t{\rm d}t\Bigg|X_0=x\right],
$$
donde $x>\mu$ es otro parámetro fijo.
El siguiente razonamiento se basa en la suposición de que $\mathbb{E}\tau<\infty$, casi con toda seguridad, lo que significa que de Ornstein-Uhlenbeck, los procesos a partir de $x$ sería, en promedio, alcanzó los $un$ después de un tiempo finito. Intuitivamente, esto es cierto sólo si $a\in\left[\mu,x\right)$. De hecho, es un hecho básico de que $\mathbb{E}\tau=\infty$ para Browniano de las mociones, y el comportamiento a largo plazo de $X_t$ es mucho menos difusa que el movimiento Browniano. Por lo tanto, si $a\noen\left[\mu,x\right)$ o si $x=\mu$, tenemos $\mathbb{E}\tau=\infty$ para $X_t$, dejando
$$
\mathbb{E}\left[\int_0^{\tau}X_t{\rm d}t\Bigg|X_0=x\right]
$$
ya sea infinito o indefinido.
Deje que $f=f(x)$ ser algunos dos veces diferenciable función definida en $\left(\mu\infty\right)$, a ser determinado. Luego Ito fórmula, junto con el de Ornstein-Uhlenbeck, los rendimientos
\begin{align}
{\rm d}f(X_t)&=f'(X_t){\rm d}X_t+\frac{1}{2}f"(X_t){\rm d}\left<X\right>_t\\
&=f'(X_t)\left[\theta\left(\mu-X_t\right){\rm d}t+\sigma{\rm d}W_t\derecho]+\frac{1}{2}f"(X_t)\left(\sigma^2{\rm d}t\derecho)\\
&=\left[\theta\left(\mu-X_t\derecho)f'(X_t)+\frac{1}{2}\sigma^2f"(X_t)\right]{\rm d}t+\sigma f'(X_t){\rm d}W_t.
\end{align}
Según este resultado, deja que $f$ ser elegido tal que
$$
\theta\left(\mu-x\right)f'(x)+\frac{1}{2}\sigma^2f"(x)=x.
\etiqueta{$*$}
$$
Con esta elección, la diferenciación puede ser simplificado como
$$
{\rm d}f(X_t)=X_t{\rm d}t+\sigma f'(X_t){\rm d}W_t,
$$
cuya integración lee
$$
f(X_u)-f(X_0)=\int_0^uX_t{\rm d}t+\int_0^u\sigma f'(X_t){\rm d}W_t,
$$
donde $u\ge 0$. Tenga en cuenta que el último término es una martingala, a condición de que $f'(X_t)$ es acotada. Así, gracias a nuestra suposición de $\mathbb{E}\tau<\infty$, el opcional de frenado teorema de tiempo continuo martingales se aplica, es decir,
$$
\mathbb{E}\left[\int_0^{\tau}\sigma f'(X_t){\rm d}W_t\derecho]=0.
$$
Esto lleva inmediatamente a
$$
\mathbb{E}\left[f(X_{\tau})-f(X_0)-\int_0^{\tau}X_t{\rm d}t\right]=0\ffi\mathbb{E}\left[\int_0^{\tau}X_t{\rm d}t\right]=\mathbb{E}f(X_{\tau})-\mathbb{E}f(X_0),
$$
o en la esperanza condicional de forma,
$$
\mathbb{E}\left[\int_0^{\tau}X_t{\rm d}t\Bigg|X_0=x\right]=f(a)-f(x),
$$
donde usamos el hecho de que $X_{\tau}=a$ tiene incondicionalmente debido a la definición de $\tau$.
Vamos ahora a averiguar una forma adecuada de $f(x)$ para $x\in\left(\mu\infty\right)$ resolviendo $(*)$. Esta ecuación es equivalente a
\begin{align}
{\rm d}\left[f'(x)\exp\left(-\frac{\theta}{\sigma^2}\left(x-\mu\right)^2\right)\right]&=\frac{2}{\sigma^2}x\exp\left(-\frac{\theta}{\sigma^2}\left(x-\mu\right)^2\right){\rm d}x\\
&={\rm d}\left[\sqrt{\frac{\pi}{\theta}}\frac{2\mu}{\sigma}\Phi(y)-\frac{1}{\theta}\exp\left(-\frac{1}{2}y^2\right)\right],
\end{align}
donde $\Phi(\cdot)$ es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar, mientras que
$$
y=\frac{\sqrt{2\theta}\left(x-\mu\derecho)}{\sigma}.
$$
Por lo tanto,
\begin{align}
f'(x)&=\exp\left(\frac{\theta}{\sigma^2}\left(x-\mu\right)^2\right)\left[\sqrt{\frac{\pi}{\theta}}\frac{2\mu}{\sigma}\Phi(y)-\frac{1}{\theta}\exp\left(-\frac{1}{2}y^2\right)+C\right]\\
&=\exp\left(\frac{1}{2}y^2\right)\left[\sqrt{\frac{\pi}{\theta}}\frac{2\mu}{\sigma}\Phi(y)-\frac{1}{\theta}\exp\left(-\frac{1}{2}y^2\right)+C\right]\\
&=-\frac{1}{\theta}+\left[\sqrt{\frac{\pi}{\theta}}\frac{2\mu}{\sigma}\Phi(y)+C\right]\exp\left(\frac{1}{2}y^2\right),
\end{align}
donde $C$ es una constante de integración. Vamos a determinar esta constante, mediante el acotamiento a la exigencia de $f'(X_t)$. En el $x>\mu$ caso, basta que se requieren $f'(x)$ para estar delimitado por $x\in\left(\mu\infty\right)$, o, equivalentemente, por $y>0$. Respecto al comportamiento asintótico de
$$
\left[\sqrt{\frac{\pi}{\theta}}\frac{2\mu}{\sigma}\Phi(y)+C\derecho]\exp\left(\frac{1}{2}y^2\derecho),
$$
es obvio que
$$
C=-\sqrt{\frac{\pi}{\theta}}\frac{2\mu}{\sigma}
$$
es el único candidato que los límites de este término para todo $y>0$. Por lo tanto,
$$
f'(x)=-\frac{1}{\theta}-\sqrt{\frac{\pi}{\theta}}\frac{2\mu}{\sigma}\left[1-\Phi(y)\right]\exp\left(\frac{1}{2}y^2\right),
$$
o, equivalentemente,
$$
{\rm d}f(x)=-{\rm d}\left(\frac{x}{\theta}\derecho)-\frac{\mu}{\theta}\frac{1-\Phi(y)}{\Phi'(y)}{\rm d}y.
$$
Definir
$$
\Psi(z)=\int_0^z\frac{1-\Phi(y)}{\Phi'(y)}{\rm d}y
$$
para todos $z>0$, y eventualmente obtener
$$
f(x)=-\frac{x}{\theta}-\frac{\mu}{\theta}\Psi\Biggl(\frac{\sqrt{2\theta}\left(x-\mu\right)}{\sigma}\Biggr).
$$
Esta fórmula está pensada para todo $x\in\left(\mu\infty\right)$, y la constante de integración por $f$ es abandonado como es, diferente de la $C$ arriba, no significativo.
Con este $f$, la esperanza condicional sería descubierto por
$$
\mathbb{E}\left[\int_0^{\tau}X_t{\rm d}t\Bigg|X_0=x\right]=f(a)-f(x)
$$
de $a\in\left[\mu,x\right)$. Cuando $\mu=0$, esta fórmula se observa una forma simplificada
$$
\mathbb{E}\left[\int_0^{\tau}X_t{\rm d}t\Bigg|X_0=x\right]=\frac{x-a}{\theta}.
$$
Un método Similar, también se aplica para calcular $\mathbb{E}\left(\tau|X_0=x\right)$, estableciendo el lado derecho de $ ( * ) $ $1$ en vez de $x$.
