root cuadrada del tiempo

Question

Estoy escribiendo sobre el VaR y me pregunto lo siguiente: Podemos escalar el VaR a diferentes horizontes temporales utilizando root cuadrada del tiempo, lo que significa que la volatilidad se ajusta por root cuadrada del horizonte temporal. Así, por ejemplo, si tenemos la volatilidad diaria, la volatilidad semanal (para 5 días de negociación) viene dada por

$\sqrt{5}*$ volatilidad diaria

Ahora mi pregunta es la siguiente:

¿Esto es válido sólo para los rendimientos de los troncos o también para los rendimientos simples?

Lo he buscado en Google pero no he encontrado ninguna prueba de ello. Entonces, ¿dónde puedo encontrar una prueba para esto en términos de rendimientos logarítmicos y también una prueba para el caso de rendimientos simples o una estimación del error que estaré cometiendo, si uso root cuadrada del tiempo mientras uso rendimientos simples?

Y finalmente considerando el VaR: ¿necesita la distribución normal como hipótesis?

Answer 1

Escalar la volatilidad como lo hace a menudo conduce a resultados inexactos que están sobreestimando la volatilidad, especialmente cuando se escala la volatilidad diaria a períodos aún más largos. Para más información, consulte lo siguiente:

http://economics.sas.upenn.edu/~fdiebold/papers/paper18/dsi.pdf

El documento anterior también explica por qué escalar de la manera que usted lo hizo no da cuenta de la volatilidad correcta cuando los rendimientos no están distribuidos normalmente/los precios no están distribuidos log-normalmente. Pero me gusta más la siguiente explicación:

Escalar la volatilidad como usted lo hizo sólo es matemáticamente correcto cuando el modelo de precios subyacente se rige por el movimiento browniano geométrico, que implica que los precios se distribuyen normalmente y los rendimientos se distribuyen normalmente. La razón es que el movimiento browniano impulsor acumula variación a razón de uno por unidad de tiempo . La prueba de esto está bastante bien publicada, pero mi fuente favorita es Steven Shreve, Stochastic Calculus for Finance II, página 101-107 (edición de 2004). Por lo tanto, la volatilidad escala con root cuadrada del tiempo sólo cuando el proceso subyacente es impulsado por un movimiento browniano geométrico.

Answer 2

para la regla de root cuadrada: es válida para los rendimientos logarítmicos, si se asume la misma varianza y la ausencia de autocorrelación. Porque entonces: $$ Var[r_1 + \cdots + r_d] = Var[r_1] + \cdots + Var[r_d] = d Var[r_1] $$ y por lo tanto $$ \sqrt{Var[r_1 + \cdots + r_d] } = \sqrt{d} \sqrt{Var[r_1]}. $$ Esto es matemáticamente cierto para cualquier distribución que cumpla los supuestos. Para el caso de las autocorrelaciones puedes mirar aquí: Escala de la volatilidad de la cartera y cálculo de las contribuciones al riesgo en presencia de correlaciones cruzadas en serie .

Por supuesto, esto es válido en el mundo ideal de las matemáticas, pero al menos es un punto de referencia para algo mejor y más realista.

Con respecto al VaR: El VaR es un cuantil, como se puede leer en wikipedia . Muy a menudo se asume una distribución normal, pero no es la única posibilidad. Otra es la distribución t, por nombrar una. Este libro se ocupa mucho del VaR.