¿Cuál es la intuición detrás de la transformación de Black-Scholes en la ecuación Heat?

Question

Se puede utilizar una secuencia de transformaciones para convertir la EDP de Black-Scholes en la ecuación del calor.

Sea $C(S, t)$ sea el precio de una opción europea vainilla en el momento $t$ con vencimiento a $T$ donde el precio de la acción subyacente es $S$ .

$C(S, t)$ satisface la ecuación de Black-Scholes:

$$\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} + (r-q)S\frac{\partial C}{\partial S} - rC = 0$$

Introduciendo nuevas variables $\tau = \frac{\sigma^2}{2}(T-t)$ y $x = \ln(S/K)$ y una elección adecuada de las constantes $\alpha$ y $\beta$ podemos garantizar que $e^{\alpha x + \beta \tau} C(S, t)$ satisface la ecuación del calor (en $x$ y $\tau$ ).

Como persona que no tiene ninguna intuición sobre las EDP, este último paso me resulta bastante confuso.

La ecuación del calor corresponde al movimiento browniano por lo que me preguntaba si es posible realizar esta transformación a nivel de procesos estocásticos y sólo pasar a EDP una vez conseguido de alguna manera el movimiento browniano.

La multiplicación por un $e^{\alpha x + \beta \tau}$ recuerda un poco a la transformación de Girsanov. He jugado con él, pero no llegar a ninguna parte.

Referencias: la transformación de coordenadas que propongo se describe con todo detalle en el libro de Wilmott Mathematics of Financial Derivatives.

Puede encontrar otro similar aquí https://quant.stackexchange.com/a/110/23872

Answer 1

La intuición es que el proceso de precios es difusivo por naturaleza. Con el tiempo, la distribución de los precios posibles del activo subyacente se extiende (es decir, la varianza del precio posible dentro de 1 año es mucho mayor que dentro de 1 día). Se puede pensar en una distribución en forma de campana de Gauss que se aplana con el tiempo. Así es exactamente como se comporta el calor. Las zonas donde la temperatura es alta tienden a difundirse hacia las zonas vecinas donde la temperatura es más baja. Con el tiempo, la distribución del calor en una zona se extenderá y se igualará. De este modo, es intuitivo que exista una transformación de la ecuación BS a la ecuación del calor.

Answer 2

En primer lugar, debemos considerar la ecuación diferencial ordinaria de tipo Cauchy-Euler: $$t^2\frac{d^2 y}{dt^2}+at\frac{dy}{dt}+by=0\tag 1$$ De hecho, deberíamos establecer $\color{red}{t=e^x}$ Tenga en cuenta $$\frac{dy}{dx}=\frac{dt}{dx}\frac{dy}{dt}=e^x\frac{dy}{dt}=t\frac{dy}{dt}\tag 2$$ $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dt}{dx}\frac{dy}{dt}+t\frac{dt}{dx}\frac{d^2y}{dt^2}=t\frac{dy}{dt}+t^2\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{dy}{dx}+t^2\frac{d^2y}{dt^2}$$ En otras palabras $$\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}=t^2\frac{d^2y}{dt^2}\tag 3$$ Inserte $(2)$ y $(3)$ en $(1)$ $$\color{red}{\frac{d^2 y}{dx^2}+(a-1)\frac{dy}{dx}+by=0}\tag 4$$

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Segundo De hecho, la ecuación de Black-scholes se parece un poco a la ecuación del calor en el intervalo infinito en el sentido de que tiene una primera derivada de la incógnita con respecto al tiempo y la segunda derivada de la incógnita con respecto a la otra variable (espacio).Por otra parte, observe:

• Cada vez que se diferencia la incógnita con respecto a $S$ también se multiplica por la variable independiente $S$ por lo que la ecuación no es una constante constante.
• Existe una primera derivada de $C$ con respecto a $S$ en la ecuación.
• El signo de la segunda derivada es el contrario de la forma de la ecuación del calor, por lo que la ecuación es de forma parabólica hacia atrás.

Eliminamos cada objeción con un cambio de variables adecuado. El plan es cambiar las variables para reducir el problema del valor final de Black-Scholes a la ecuación del calor. a la ecuación del calor, luego utilizar la solución conocida de la ecuación del calor para para representar la solución y, por último, volver a cambiar las variables.

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También sabemos $$\color{red}{S_t=S_0e^{(r-\frac12 \sigma^2)t+\sigma B_t}}$$ Por otro lado, fija $$P(y,t,x,s)=P(B(t)\le y\,|\,B(s)=x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}\int_{-\infty}^{y}e^{-\frac{(u-x)^2}{2(t-s)}}dy$$ defina $$V(t,x,y)=:\frac{d}{dy}P(y,t,x,0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(y-x)^2}{2t}}$$ tenemos $$\frac{\partial V}{\partial t}=-\frac{1}{2t\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(y-x)^2}{2t}}+\frac{(y-x)^2}{2t^2\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(y-x)^2}{2t}}\tag 5$$ y $$\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{y-x}{t\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(y-x)^2}{2t}}$$ y $$\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}=-\frac{1}{t\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(y-x)^2}{2t}}+\frac{(y-x)^2}{t^2\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{(y-x)^2}{2t}}\tag 6$$ Combine $(5)$ y $(6)$ $$\color{red}{\frac{\partial V}{\partial t}=\frac 12\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}}\tag 7$$

Answer 3

Consideremos la dinámica neutral al riesgo para los precios de las acciones y los bonos:

$$S_t = S_0 \left\{ \left(r-q - \frac{\sigma^2}{2} \right) t + \sigma W_t\right \} \\ B_t^T = e^{-r(T-t)}$$

Cambio de hora a $\tau = T - t$ y espacio para $W$ en lugar de $S$ la relación entre el precio de la opción y el precio del bono $$C_B(W, \tau) = \frac{C(S, t)}{B_t^T}$$ satisface la ecuación del calor.