El uso del teorema de Girsanov en el precio de los bonos

Question

Supongamos que queremos calcular el tiempo $t=0$ el precio de un bono: $B(0,T) = E_P[ \exp (- \int_0 ^T r_s ds)]$ , donde $r$ es el tipo de interés que sigue a la SDE $dr_t=k( \theta -r_t)dt+ \sigma dB_t=b(r_t)dt+ \sigma dB_t$ .

Me mostraron que se podía escribir el precio como

$B(0,T) = E_{ \hat {P}}[ \exp (- \int_0 ^TB^{*}_sds) \exp ( \int_0 ^Tb(B^{*}_s)dB^{*}s- \frac {1}{2} \int_0 ^Tb^2(B^{*}_s)ds)]$

donde $B_t^{*}$ es el "nuevo" movimiento Browniano del teorema de Girsanov.

Sin embargo, cuando trato de implementarlo, resulta en precios demasiado bajos. Esto es lo que hice:

Desde $dr_t=b(r_t)dt+ \sigma dB_t$ el teorema de Girsanov da un nuevo movimiento Browniano con dinámica $dB_t^{*}= \frac {1}{ \sigma }b(r_t)dt+dB_t$ y la dinámica de $r_t$ se convierte en $dr_t= \sigma dB_t^{*}$ . Así que $r_t=r_0+ \sigma B_t^{*}$ y $dB_t^{*}= \frac {1}{ \sigma }b(r_0+ \sigma B_t^{*})dt+dB_t$ . Con esta última expresión traté de usar la discretización de Euler para encontrar $B_t^{*}$ y finalmente aproximé las tres integrales como sumas.

¿Qué estoy haciendo mal? En segundo lugar, también me pregunto cuál es el punto de partida de $B_t^{*}$ debería ser, es decir. $B_0^{*}$ .

Answer 1

Dinámica del precio de los bonos

No conozco la fuente de las dinámicas de enlace que muestras arriba pero viendo que estamos tratando con un modelo afín hay una forma muy elegante de derivarlas.

Debido a que el modelo es afín, el precio del bono viene dado por $$P(t,T)=A(t,T)e^{-r(t)B(t,T)}$$ puede encontrar las fórmulas exactas para $A(t,T)$ y $B(t,T)$ en este documento (o simplemente leer el capítulo relevante en Brigo Mercurio . Si tiene curiosidad por saber cómo se llega a la fórmula de precios anterior, le sugiero este documento .

Ahora que conocemos las formas cerradas anteriores, obtener la dinámica de $P(t,T)$ es sólo cuestión de aplicar Itô y usar algo de álgebra

$$ dP(t,T)=r_tP(t,T)dt-\sigma B(t,T)P(t,T)dW_t $$

Obtener una solución para $r_t$

El modelo generalizado de Vasicek viene dado por $$ dr_t=\kappa(t)(\theta(t)-r_t)d t+\sigma(t)dW_t $$

La solución única es

$$ r_t=A^{-1}(t)\left[r_0+\int_0^tA(s)\kappa(s)\theta(s)ds+\int_0^t A(s)\sigma(s)dW_s\right] $$ con $A(t)=\exp\left(\int_0^t\kappa(s)ds\right)$

Viendo que tienes parámetros constantes y no dependientes del tiempo lo anterior se simplifica a

$$ r_t=e^{-\kappa t}\left[r_0+\int_0^t\kappa\theta e^{\kappa s} ds+\int_0^t \sigma e^{\kappa s} dW_s\right] $$

P.D: Para llegar a la solución anterior basta con aplicar la Fórmula de Ito a $d(r_t \cdot e^{\int_0^t\kappa(s)ds})$