Actualmente estoy haciendo mi camino a través de Burdett y Mortensen clásico papel de en la búsqueda de empleo. Lo que debería ser una tarea fácil de encontrar una expresión para la reserva de los salarios se hace un poco más complicado por la presencia de max operador. Nos enfrentamos con la siguiente ecuación de Bellman para el valor de un trabajo que pague un salario de $w$. El botones ecuaciones son estándar. El valor de un trabajo que paga $w$ consiste en el salario $w$, más la ganancia esperada de buscar y encontrar un mejor trabajo de descuento por la probabilidad de que una oferta de trabajo viene a lo largo de $\lambda_1$ además de la pérdida de debido a quedarse sin trabajo cuando el trabajo se destruyó a la tasa de $\delta$. El valor de desempleo $V_0$ consiste en la prestación por desempleo $b$ más la ganancia esperada de convertirse en empleados de descuento por la probabilidad de que una oferta viene a lo largo de $\lambda_0$. Nota: la probabilidad se hace una oferta es diferente dependiendo de si alguien es empleado o desempleado. La distribución de las ofertas está dada por $F$ \begin{ecuación} rV_1(w)=w+\lambda_1\bigg[\int \max\{V_1(w),V_1(\tilde{x})\}-V_1(w)\bigg]\;dF(\tilde{x})+\delta [V_0-V_1(w)] \end{ecuación} \begin{ecuación}rV_0=b+\lambda_0 \bigg[\int \max\{V_0,V_1(\tilde{x})\}\;dF(\tilde{x})-V_0\bigg]\end{ecuación} Desde $V_1(w)$ es el aumento en $w$ y $V_0$ es independiente de ella sabemos que los salarios de reserva existe tal que si $w>R\implica V_1(w)>V_0$, $w<R\implica V_1(w)<V_0$ y $V_1(R)=V_0$. Estándar de argumentos (integración por partes) muestra que \begin{ecuación} R-b=(\lambda_0-\lambda_1)\int_R^\infty V_1'(\tilde{x})[1-F(\tilde{x})]\d\tilde{x} \end{ecuación} desde aquí me gustaría tomar la derivada de la primera ecuación y resolver por $V_1'(w)$. Sin embargo, Si yo uso la de Leibniz, la integración de la regla necesito el integrando sea diferenciable. El máximo de dos funciones continuas es generalmente no diferenciable, donde son iguales, por lo que tengo un problema. Si asumo que me integrar sobre todo $\tilde{x}\geq w$ entonces $V_1(\tilde{x})\geq V_1(w)$ (salario ofertas que serán inducir a un trabajador a cambiar de trabajo) y el resultado se sigue por la regla de Leibniz. Pero no son los salarios en la distribución que no son aceptados y este derivado de la costumbre de celebrar. La derivada es \begin{ecuación} V'(\tilde{x})=\frac{1}{r+\delta+\lambda_1(1-F(\tilde{x}))} \end{ecuación} me imagino que me estoy perdiendo algo, pero no estoy seguro de qué. Si alguien me pudiera dar algún consejo lo agradecería muchísimo.
Respuestas
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Cuando usted toma la integral de una $\max_{\{\cdot\}}$ operador, creo que usted tiene que dividir la integral en dos integrales con diferentes apoya en ellos.
Incluso si el valor de la función es complicado y no es la diferenciabilidad, sólo se necesita la continuidad de la existencia de una solución para resolver el problema de optimización.
Aquí está mi intento, donde puedo asumir una absoluta límite superior en el soporte de $F$, $F(\overline{w})=1$, por simplicidad.
La reescritura de la primera ecuación como \begin{ecuación} rV_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(\tilde{x})dF(\tilde{x}) +\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{I} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) +\delta[V_0-V_1(w)] \ , \end{ecuación} cual \begin{ecuación} -\lambda_1\int_0^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x})= -\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1(w)dF(\tilde{x}) -\underbrace{\lambda_1\int_0^{w}V_1(w)dF(\tilde{x})}_{II} \ . \end{ecuación}
Los términos $I$ y $II$ cancelar, a fin de que la organización de da \begin{ecuación} (\delta +r)V_1(w)= w+\lambda_1\int_w^{\overline{w}}[V_1(\tilde{x})-V_1(w)]dF(\tilde{x}) +\delta V_0 \ . \end{ecuación} Si aplicamos de Leibniz regla saber, obtenemos \begin{ecuación} (\delta +r)V_1'(w)= 1-\lambda_1\int_w^{\overline{w}}V_1'(w)dF(\tilde{x})=1-\lambda_1V_1'(w)[1-F(w)] \ , \end{ecuación} virtud de la cual la última igualdad se sigue de $F(\overline{w})=1$. La solución para $V_1'(w)$ da la solución deseada.
