8 votos

Varianza de la integral temporal del movimiento browniano al cuadrado

Quiero calcular la varianza de

$$I = \int_0^t W_s^2 ds$$

Estaba pensando que podría definir la función $f(t,W_t) = tW_t^2$ y luego aplicar el lema de Ito por lo que obtengo

$$f(t,W_t)-f(0,0) = \int_0^t \frac{\partial f}{\partial t}(s,W_s)ds + \int_0^t \frac{\partial f}{\partial x}(s,W_s)dW_s+ \frac{1}{2}\int_0^t \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(s,W_s)ds \\= I + \int_0^t 2sW_sdW_s + \frac{t^2}{2}$$

Reordenando obtengo

$$I = tW_t^2 - \int_0^t 2sW_sdW_s - \frac{t^2}{2}$$

Entonces obtenemos que (no estoy seguro aquí pero creo que la expectativa es cero de cualquier integral con BM?)

$$\mathbf{E}[I]=\frac{t^2}{2}$$

Y la varianza

$$\mathbf{V}[I] = \mathbf{V}[tW_t^2 - \int_0^t 2sW_sdW_s - \frac{t^2}{2}] = t^2\mathbf{V}[W_t^2]+\mathbf{E}[(\int_0^t 2sW_sdW_s)^2] \\= 2t^4 + \mathbf{E}[\int_0^t 4s^2W_s^2ds]\quad\text{(Isometry property)}$$

No estoy seguro de si está bien cambiar el orden de integración y expectativa aquí, pero si lo hago, obtengo

$\mathbf{V}[I]= 2t^4 + \int_0^t 4s^2\mathbf{E}[W_s^2]ds = 2t^4 + \int_0^t 4s^2\mathbf{E}[W_s^2]ds = 2t^4 + \int_0^t 4s^3ds=3t^4$

Sin embargo, la respuesta dice que la varianza debe ser $\frac{t^4}{3}$ Así que supongo que hago algo mal.

0 votos

$$2\text{Cov}\left(tW_t^2,\,-2\int_{0}^{t}2sW_sdW_s\right)=???$$

7voto

MayahanaMouse Puntos 71

He aquí otra visión de la cuestión:

\begin{align} \int_0^t W_s^2 ds &= \int_0^t \int_0^s d(W_u^2) ds \\ &= 2 \int_0^t \int_0^s W_u dW_u ds + \int^t_0 \int^s_0 du ds \tag{Itô's lemma}\\ &= 2 \int_0^t \int_u^t W_u ds dW_u + \frac{t^2}{2}\tag{Stochastic Fubini}\\ &= 2 \int_0^t W_s (t-s) dW_s + \frac{t^2}{2} \end{align}

Ahora puedes usar la isometría de Itô para concluir: \begin{align} \Bbb{V}\left[ 2 \int_0^t W_s (t-s) dW_s \right] &= 4 \int_0^t \Bbb{E}[W_s]^2 (t-s)^2 d\langle W, W \rangle_s \\ &= 4 \int_0^t s(t^2-2st+s^2) ds \\ &= 4 \left( \frac{t^4}{2} - 2\frac{t^4}{3} + \frac{t^4}{4} \right) = \frac{t^4}{3} \end{align}

0 votos

¡Bien visto!

6voto

Otra forma

Por aplicación del lema de Ito , tenemos $$W^4_t=4\int_{0}^{t}W^3_sdW_s+6\int_{0}^{t}W^2_sds\tag 1$$ Nosotros conozca

$$\left\{ \begin{align} &\mathbb{E}\left[ {{W}^{2n+1}}(t) \right]=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ & \quad \mathbb{E}\left[ {{W}^{2n}}(t) \right]=\frac{(2n)!}{{{2}^{n}}n\,!}\,{{t}^{n}} \\ \end{align} \right.$$

por lo tanto $$\text{Var}(W^4_t)=\mathbb{E}[W^8_t]-\mathbb{E}[W^4_t]^2=105t^4-(3t^2)^2=96t^4\tag 2$$ Mediante la aplicación de Isometría de Ito tenemos $$\text{Var}\left(4\int_{0}^{t}W^3_sdW_s\right)=16\int_{0}^{t}\mathbb{E}[W^6_s]ds=240\int_{0}^{t}s^3ds=60t^4\tag 3$$ por otro lado $$2\text{Cov}\left(4\int_{0}^{t}W^3_sdW_s\,,\,6\int_{0}^{t}W^2_sds\right)=24t^4\quad\text{(Why?)}\tag 4$$ Además $$\text{Var}(W^4_t)=\text{Var}\left(4\int_{0}^{t}W^3_sdW_s+6\int_{0}^{t}W^2_sds\right)\tag 5$$ así $$96t^4=60t^4+36\text{Var}\left(\int_{0}^{t}W^2_sds\right)+24t^4$$ es decir $$\text{Var}\left(\int_{0}^{t}W^2_sds\right)=\frac{1}{3}t^4$$

0 votos

Al intentar calcular la covarianza que has proporcionado, finalmente llego a $\mathbf{E}[W_t^4 \int_0^t W_s^2ds]$ Entonces no sé cómo proceder. He intentado sustituir el $ds$ -integral con los otros términos de su ecuación $(1)$ pero eso no sirvió de nada.

0 votos

He completado el cálculo de la covarianza arriba en la respuesta a otro post: quant.stackexchange.com/questions/57206/ (nota que este no es el método más directo para resolver el problema, la respuesta de Quantuple más abajo es muy sucinta, pero el post anterior demuestra muchas buenas propiedades de la integración estocástica)

4voto

otto.poellath Puntos 1594

Me gustaría sugerir algunos consejos:

  • ¿Cómo es $Var(W_t^2)$ ¿Calculado? Tenga en cuenta que \begin{align*} W_t^2 = 2\int_0^t W_s dW_s + t. \end{align*} Entonces \begin{align*} Var(W_t^2) &=E\left(W_t^2-t)^2\right) =2t^2. \end{align*}

  • En general, la varianza de una suma no es la suma de varianzas, lo que sólo es válido para las variables aleatorias no correlacionadas. Es decir, también hay que calcular la expectativa \begin{align*} E\left(W_t^2 \int_0^t 2s W_s dW_s \right) &=4\int_0^ts^2 ds = \frac{4}{3}t^3. \end{align*}

  • Finalmente, \begin{align*} Var(I) &= Var\left(tW_t^2\right) + Var\left(\int_0^t 2s W_s dW_s \right) - 2tE\left(W_t^2 \int_0^t 2s W_s dW_s \right) = \frac{1}{3}t^4. \end{align*}

Finanhelp.com

FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X