Quiero calcular la varianza de
$$I = \int_0^t W_s^2 ds$$
Estaba pensando que podría definir la función $f(t,W_t) = tW_t^2$ y luego aplicar el lema de Ito por lo que obtengo
$$f(t,W_t)-f(0,0) = \int_0^t \frac{\partial f}{\partial t}(s,W_s)ds + \int_0^t \frac{\partial f}{\partial x}(s,W_s)dW_s+ \frac{1}{2}\int_0^t \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(s,W_s)ds \\= I + \int_0^t 2sW_sdW_s + \frac{t^2}{2}$$
Reordenando obtengo
$$I = tW_t^2 - \int_0^t 2sW_sdW_s - \frac{t^2}{2}$$
Entonces obtenemos que (no estoy seguro aquí pero creo que la expectativa es cero de cualquier integral con BM?)
$$\mathbf{E}[I]=\frac{t^2}{2}$$
Y la varianza
$$\mathbf{V}[I] = \mathbf{V}[tW_t^2 - \int_0^t 2sW_sdW_s - \frac{t^2}{2}] = t^2\mathbf{V}[W_t^2]+\mathbf{E}[(\int_0^t 2sW_sdW_s)^2] \\= 2t^4 + \mathbf{E}[\int_0^t 4s^2W_s^2ds]\quad\text{(Isometry property)}$$
No estoy seguro de si está bien cambiar el orden de integración y expectativa aquí, pero si lo hago, obtengo
$\mathbf{V}[I]= 2t^4 + \int_0^t 4s^2\mathbf{E}[W_s^2]ds = 2t^4 + \int_0^t 4s^2\mathbf{E}[W_s^2]ds = 2t^4 + \int_0^t 4s^3ds=3t^4$
Sin embargo, la respuesta dice que la varianza debe ser $\frac{t^4}{3}$ Así que supongo que hago algo mal.
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$$2\text{Cov}\left(tW_t^2,\,-2\int_{0}^{t}2sW_sdW_s\right)=???$$