¿Por qué Black-Scholes no funciona en tiempo discreto?

Question

Tengo una pregunta sobre los mercados financieros en tiempo discreto.

Uno de los principales teoremas en tiempo discreto es el siguiente. En Tiempo discreto finito con tiempos de negociación t={1,...,T} son equivalentes los siguientes:

1. El mercado $(S,\mathbb{F})$ es completa, es decir, cada $F_T$ -variable aleatoria medible $U$ es replicable
   y

2. Hay exactamente una medida de martingala equivalente.

Ahora parece que llego a una contradicción si defino el siguiente marco (en breve: Black Scholes en tiempo discreto):

Supongamos que estamos en el marco de Black-Scholes pero consideramos el modelo como un modelo de tiempo discreto con (simplificando mucho) dos fechas de negociación $t=0$ y $t=1$ . El precio de las acciones (descontado) se denota por $S_t$ . $S_0$ es constante y para $T=1$ $$S_T=\exp((\mu-r-1/2\sigma^2)T-\sigma W_t).$$ La filtración $\mathbb{F}=(F_t)_{t=0,1}$ es el natural.

Está claro que en este marco hay exactamente una medida martingala equivalente, a saber, aquella en la que $\mu=r$ . Aplicando el teorema anterior, una opción de compra sobre esa acción S debería ser replicable (en un solo día de negociación, es decir, de $t=0$ a $T=1$ )

Ahora bien, esto me parece muy dudoso y no sé realmente dónde está el Problema.... ¡¡¡¡CUALQUIER AYUDA ES BIENVENIDA!!!!

Answer 1

Un modelo en tiempo discreto sólo funciona en terrenos sin arbitraje con valores de activos discretos. Además, el número de valores de activos admisibles por paso de tiempo está limitado por el número de valores disponibles.

El árbol es el ejemplo clásico de esto. Los árboles binomiales "funcionan", pero si se hace un árbol trinomial de un paso, se verá que ya no se puede formar una cartera sin riesgo a partir de una opción y su subyacente.

(Por supuesto, como forma de resolver numéricamente la EDP, los árboles trinomiales siguen estando bien).

Answer 2

Discretización exacta de la solución del movimiento browniano geométrico Ecuación diferencial estocástica

Dejemos que $P_{t}$ representan la serie temporal de los precios de mercado del subyacente, $\mu$ sea su rendimiento logarítmico continuo medio, $\sigma$ sea su volatilidad instantánea volatilidad y $W_{t}$ sea un proceso de Wiener.

Aquí está la ecuación diferencial estocástica para el browniano geométrico geométrico:

$$ \frac{dP_{t}}{P_{t}}=\mu dt+\sigma dW_{t} $$

Aquí está la solución exacta de la ecuación:

$$ \ln\left(\frac{P_{t}}{P_{0}}\right)=\left(\mu-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)t+\sigma W_{t} $$

La discretización de esta solución en un intervalo pequeño pero finito $\delta$ viene dada por lo siguiente:

$$ \ln\left(\frac{P_{t+\delta}}{P_{t}}\right)=\left(\mu-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)\delta+\sigma W_{t} $$

donde $W_{t}$ equivale a una variante normal estándar $Z_{t}$ veces root cuadrada del intervalo de tiempo $\delta$ para que $W_{t}=Z_{t}\sqrt{\delta}$ .

Si el plazo de vencimiento es $T$ el número de pasos de tiempo correspondientes al intervalo de tiempo $\delta$ viene dada por $n=\frac{T}{\delta}$ . Así,

$$ \ln\left(\frac{P_{T}}{P_{0}}\right)=\left(\mu-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)T+\sigma\sqrt{\delta}\sum_{k=1}^{n}Z_{k} $$

Cuando uno realiza simulaciones, un camino se representa con la anterior fórmula, pero hay tantas instancias de esta fórmula como caminos caminos a simular, de modo que aunque la parte determinista de la fórmula es la misma de un camino a otro, la parte estocástica de la fórmula, la $Z_{k}$ tienen que generarse de nuevo para cada instancia de la fórmula, por lo que hay n veces el número de simulaciones números aleatorios normales que hay que generar para generar una camino por simulación. Por supuesto, cuanto mayor sea el número de trayectorias simuladas caminos simulados y menor sea el $\delta$ más realistas son los resultados de la simulación.