¿Alguna idea de dónde podría estar el problema? Gracias por las sugerencias.
Respuesta
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En ausencia de incertidumbre, la deriva de la acción $\mu$ bajo la medida objetivo $\mathbb {P}$ debe ser igual a la tasa libre de riesgo $r$ (*) para evitar oportunidades de arbitraje. Por lo tanto, no hay paradoja, ya que las dos fórmulas coinciden bajo tales circunstancias.
Para convencerte, considera el siguiente experimento mental. En el tiempo cero, supongamos que posees una cantidad de efectivo $S_0$, que te gustaría invertir. Se te ocurre 2 ideas de inversión diferentes:
- Comprar la acción en el tiempo cero. Con certeza, tu posición larga valdrá $S_0e^{\mu T}$ en el tiempo $T$.
- Invertir tu efectivo en la cuenta del mercado monetario libre de riesgo en el tiempo cero. Esto te dará $S_0e^{r T}$ con certeza en el tiempo $T$.
Está claro que deberías tener $r=\mu$ para evitar oportunidades de arbitraje en ese caso.
(*) $r$ resulta ser la deriva requerida bajo la medida neutral al riesgo $\mathbb {Q}$, es decir, la deriva asumida al derivar la fórmula de BS
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Creo que hay un error tipográfico, es decir, $e^{\mu(T-t)}S$ debe ser $e^{r(T-t)}S$. No se puede, bajo la misma medida neutra al riesgo, utilizar un drift para una fórmula y otro drift en otro caso.
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En ausencia de oportunidades de arbitraje, y en ausencia de incertidumbre, la deriva de la acción $\mu $ bajo la medida objetiva $\mathbb {P} $ debería ser igual a la tasa libre de riesgo, por lo tanto no hay paradoja. Esto se puede ver mediante un simple argumento de carry de efectivo.
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De acuerdo con Quantuple. Una volatilidad de cero implica que el activo no tiene riesgo, entonces $\mu=r$.