¿Cómo se puede ajustar el Criterio de Kelly para tomar decisiones de inversión en Ángeles?

Question

1 Contexto

Considera el Criterio de Inversión de Kelly, que "es una fórmula utilizada para determinar el tamaño óptimo de una serie de apuestas con el fin de maximizar el logaritmo de la riqueza". Dicho de otra manera, el Criterio de Kelly ayuda a los inversores a equilibrar el compromiso entre maximizar su valor esperado a largo plazo y minimizar la posibilidad de que alguna vez se queden sin fondos. Aquí está la fórmula para el "modelo simple" según Wikipedia:

Para apuestas simples con dos resultados, uno que implica perder la cantidad apostada completa, y el otro que implica ganar la cantidad apostada multiplicada por las probabilidades de pago, la apuesta de Kelly es:

$$ f^{*} = \frac{bp - q}{b} = \frac{p(b + 1) - 1}{b}, $$

donde:

• $f^{*}$ es la fracción del bankroll actual para apostar, es decir, cuánto apostar;
• $b$ son las probabilidades netas recibidas en la apuesta ("$b$ a $1$"); es decir, podrías ganar $b$ (además de recuperar tu apuesta de $\$1$) por una apuesta de \$1
• $p$ es la probabilidad de ganar;
• $q$ es la probabilidad de perder, que es 1 - $p$.

El problema con el modelo simple es que asume que estás invirtiendo 1 inversión por periodo, en secuencia. En el mundo de la inversión ángel, estás realizando potencialmente muchas inversiones en paralelo, con cada inversión pagando en una fecha desconocida (es decir, una inversión podría pagar en 7 años, mientras que otra inversión podría pagar en 1 año). Además, los retornos de inversión ángel no son necesariamente binarios (a diferencia del modelo simple).

2 Pregunta

¿Cómo puede el Inversor Ángel modificar este modelo para que se ajuste a inversiones con períodos de pago desconocidos (y de manera que el Inversor Ángel siempre tenga dinero restante para otra inversión, en caso de que surja una oportunidad)? (También sería bueno saber cómo hacer que se ajuste a inversiones que no son binarias, pero por ahora podemos asumir resultados binarios).

3 Intento

Al menos podemos intentar adaptar el modelo para un número ilimitado de inversiones (antes de que cualquier inversión necesariamente pague). Por ejemplo, si el modelo simple sugiere que deberías apostar $x_1 \in [0,1]$ por ciento de tu dinero en la primera startup, y $x_2 \in [0,1]$ por ciento de tu dinero en la segunda startup, entonces podríamos en su lugar apostar $\frac{1}{2^2} x_1$ de nuestro dinero en la primera startup, y $\frac{1}{3^2} x_2$ de nuestro dinero en la segunda startup, y en general $\frac{1}{(n+1)^2} x_n$ de nuestro dinero en la n-ésima startup. A largo plazo, esto aseguraría que nunca apostemos más del

$$ \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{(n+1)^2} x_n \le \underbrace{\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{1}{6}(\pi^2 - 6)}_{\text{hecho de análisis real}} < 1 $$

por ciento de nuestro dinero en cualquier colección de startups, y por lo tanto nos permitiría realizar un número ilimitado de inversiones sin quedarnos sin dinero. Pero, ¿cómo sabríamos que esta estrategia está cerca de ser óptima según Kelly?

Answer 1

Desafortunadamente, la solución no es simple en el sentido de que puedes tomar un trozo de papel o un lápiz, pero con software en realidad no es tan malo como está a punto de sonar.

Para empezar, ten en cuenta que el Criterio de Kelly es precisamente equivalente a asumir utilidad logarítmica y maximizar la utilidad de la riqueza. Esto es valioso en dos aspectos. Primero, te permite modelar tu problema real en lugar de imponer una solución a un problema que se asemeje a tu problema real. Segundo, te permite integrar completamente las restricciones en las suposiciones del modelo y no solo los rendimientos.

Esto comenzaría como cualquier modelo económico básico con $$\max_{\boldsymbol{\alpha}}[\mathcal{U}(\tilde{w})],$$ donde $\boldsymbol\alpha$ es un vector de asignaciones a elegir. Sin embargo, no tendría la apariencia del Modelo de Fijación de Precios de Activos de Capital o del APT.

En su lugar, modelarías flujos de efectivo. Modelarías formalmente la probabilidad de quiebra, la probabilidad de que la empresa se fusione con otra empresa por dinero en efectivo, la probabilidad de que la empresa sea comprada con acciones, la probabilidad de que la empresa salga a bolsa y salga en una IPO. Por razones que son demasiado largas y extensas para discutir aquí, no hay una solución Frecuentista para este problema, solo soluciones Bayesianas.

Suponiendo que no tienes acceso a datos de la industria, podrías condicionar lo que crees que son las diversas probabilidades y reducir el riesgo creando probabilidades de baja probabilidad, probabilidad planificada y alta probabilidad. Necesitas modelar las tasas de reinversión de efectivo si el dinero no se gasta.

En caso de quiebra, necesitas modelar las recuperaciones de efectivo del fideicomisario de quiebras. En caso de fusión, debes modelar los descuentos por falta de comercialización o liquidez. Ashok Abbott proporciona buenos estimadores en su capítulo del Manual de Valoración. El ISBN es 9780470385791 y lo he utilizado para dar clases en cursos de posgrado y como lectura de cursos.

Si tienes acceso a datos del mercado, entonces tu función de verosimilitud Bayesiana para cada flujo de efectivo de deuda y acciones preferentes debería modelarse como un ensayo de Bernoulli, ya sea que se pague o no se pague. El principal de ambos se modelaría utilizando la distribución normal para el principal recuperable esperado. La función de verosimilitud para los dividendos debería ser $$\frac{\sigma}{\sigma^2+(\delta-f(x))^2},$$ si se espera que los dividendos no permanezcan constantes, sino que crezcan con el tiempo. En esta representación, $\delta$ es un dividendo específico y $f$ es la función de datos que te permite estimar su cantidad. Si crees que habrá dividendos constantes, dividendos en declive o dividendos que crecen linealmente con el tiempo, entonces utilizarías la distribución normal.

Debes tener cuidado con distribuciones de la forma general $$\frac{\sigma}{\sigma^2+(x-\mu)^2}.$$ No tienen media ni varianza y no puedes usar atajos para hacer las estimaciones. Debes hacerlo como una estimación Bayesiana completa.

En el lado positivo, estas partes altamente separadas se pueden construir como un problema muy grande y de alta dimensión de teoría de decisiones Bayesianas para todo un portafolio. Para eso, deberías leer el libro de Parmigiani sobre Teoría de Decisiones como una introducción. Cubre tanto la teoría de decisiones Frecuentista como la Bayesiana, pero te dará suficiente información para pensar cómo construir esto como una abstracción y una vez que puedas abstraerlo, entonces podrás escribir un algoritmo.

Para obtener más información sobre el proceso de dividendos, consulta

Harris, D.E. (2017) The Distribution of Returns. Journal of Mathematical Finance, 7, 769-804

Para obtener más información sobre la teoría de decisiones, consulta

Parmigiani, G. and Inoue, L. (2009) Decision Theory: Principles and Approaches. Serie Wiley en Probabilidad y Estadística, Chichester, 155-171.

Answer 2

No hay una respuesta clara aquí, sino más bien algunos pensamientos:

1. Kelly puede manejar cualquier distribución, no necesariamente resultados binarios. Ver ejemplos aquí.
2. El problema más grave en mi opinión es el hecho de que los tiempos de llegada de oportunidades de inversión son desconocidos. Saber esta secuencia de antemano mejoraría sustancialmente las ganancias. Existe un método en informática llamado "Análisis Competitivo", que ayuda a analizar el rendimiento de algoritmos en línea (es decir, algoritmos que reciben su entrada por partes) y compararlo con sus contrapartes fuera de línea (algoritmos que conocen toda la entrada de antemano).