¿Cómo construir una cartera de riesgo-paridad?

Question

Si quisiera construir una cartera de inversión a largo plazo con dos clases de activos (bonos $B$ y Acciones $S$ ) basado en el concepto de riesgo-paridad .

Los pesos $W$ de mi cartera sería entonces la siguiente:

A continuación, el peso de los bonos: $$W_B = \textrm{Vol}(S)/[\textrm{Vol(S)}+\textrm{Vol(B)}]$$

y los pesos de las acciones $$W_S = 1 - W_B$$

Basándome en este resultado, voy a sobreponderar el activo de baja volatilidad y a infraponderar el activo de alta volatilidad.
Mi pregunta es: ¿cómo puedo calcular las ponderaciones de una cartera con varias clases de activos, 5 por ejemplo, para que cada clase de activo tenga la misma volatilidad y contribuya con la misma cantidad de riesgo a mi cartera? De los datos históricos puedo extraer la volatilidad de cada clase de activos y la correlación entre ellos.

Answer 1

La paridad de riesgo no consiste en "tener la misma volatilidad", sino en que cada activo contribuya de la misma manera a la volatilidad global de la cartera.

La volatilidad de la cartera se define como:

$$\sigma(w)=\sqrt{w' \Sigma w}$$

La contribución al riesgo del activo $i$ se calcula como sigue:

$$\sigma_i(w)= w_i \times \partial_{w_i} \sigma(w)$$

Entonces puedes demostrarlo:

$$\sigma(w)=\sum_{i=1}^n \sigma_i(w)$$

El vector de las contribuciones marginales ( $\partial_{w_i} \sigma(w)$ ) se calcula como sigue:

$$c(w)= \frac{\Sigma w}{\sqrt{w' \Sigma w}}$$

A continuación, puede encontrar la solución ejecutando la siguiente optimización:

$$\underset{w}{\arg \min} \sum_{i=1}^N [\frac{\sqrt{w^T \Sigma w}}{N} - w_i \cdot c(w)_i]^2$$ Este artículo contiene todos los desarrollos necesarios para entender cómo se derivan las fórmulas anteriores.

Answer 2

Estoy muy satisfecho con la siguiente formulación equivalente para el problema de presupuestación de riesgos (tal como se presenta en Bruder, Roncalli, 2012, Gestión de las exposiciones al riesgo mediante el enfoque de presupuestación del riesgo ):

Dejemos que $b_i$ , $\Sigma_{i=1}^n b_i =1$ sean los presupuestos de riesgo, $y_i$ las ponderaciones de la cartera sin escalar y $S$ la matriz de covarianza de la varianza y $c$ arbitraria.

$$ y^* = \text{arg min}_y \sqrt{y^T S y}, \quad \text{s.t.} \sum_{i=1}^n b_i \ln y_i \geq c, \quad \sum_{i=1}^ny_i=1, \quad y_i \geq 0 $$

Ahora bien, lo bueno de esta formulación es que se trata de un programa cuadrático con restricciones convexas (suponiendo que $b_i >0$ ) que es numéricamente agradable. Además, para la implementación numérica uno quisiera dejar de lado la restricción $\sum_{i=1}^ny_i=1$ y reescalar manualmente después $x_i^* = \frac{y_i^*}{\sum_{i=1}^ny_i^*} $ . A mí me funciona mejor que la solución presentada en la otra respuesta.

Answer 3

Otro enfoque para construir una cartera de paridad de riesgo sería utilizar la formulación propuesta por Spinu [1]: $$\begin{array}{ll} \underset{\mathbf{w}}{\textsf{minimize}} & \frac{1}{2}\mathbf{w}^{T}\Sigma\mathbf{w} - \sum_{i=1}^{N}b_i\log(w_i)\\ \textsf{subject to} & \mathbf{1}^T\mathbf{w}=1. \end{array}$$ donde $\mathbf{w}$ es el vector de pesos de la cartera, $\Sigma$ es la matriz de covarianza, y $b_i, i = 1, 2, ..., N,$ son los presupuestos de riesgo.

Un algoritmo robusto para resolver el problema de optimización anterior está disponible en R y Python a través del paquete riskParityPortfolio: https://github.com/dppalomar/riskParityPortfolio .

1] Florin Spinu, An Algorithm for Computing Risk Parity Weights, 2013. https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=2297383

EDITAR: También he publicado una versión en Python del paquete anterior. Para los interesados, aquí está el enlace al repo: https://github.com/mirca/riskparity.py

Answer 4

Entendamos intuitivamente el algoritmo de paridad de riesgo. En este algoritmo, el punto importante a tener en cuenta es que asigna más capital a los activos que tienen menor riesgo y menos capital a los activos que tienen mayor riesgo.

Por ejemplo, consideremos dos activos en los que el riesgo del activo1 es del 9% y el del activo2 es del 5%. Entonces, la cantidad de capital asignada al activo1 = 1/9 / (1/9 + 1/5) = 35% y la cantidad asignada al activo2 = (1 - 35%) = 65%.

Como se ve, el 65% se asigna al activo 2, ya que tiene un riesgo menor, del 5%, en comparación con el activo 1, que tiene un riesgo del 9%.

Puedes comprobar que la fórmula que has dado: $w_B=\frac{\sigma_S}{\sigma_B+\sigma_S}$ es algebraicamente equivalente a $w_B=\frac{1/\sigma_B}{1/\sigma_B+1/\sigma_S}$ . Así que el resultado es el mismo. Pero la fórmula en términos de inversos es más intuitiva y más general.

Para ampliar esta fórmula a múltiples activos (suponiendo que las correlaciones son nulas), se puede colocar la inversa del riesgo del activo en el numerador y la suma de la inversa del riesgo de todos los activos en el denominador para obtener las ponderaciones.

En este ejemplo, la suma de la inversa del riesgo de todos los activos es 0,48. La ponderación del activo1 es 1/9 / 0,48 = 23%.

Para entender la derivación del algoritmo y cómo introducir correlaciones no nulas, puede consultar el siguiente enlace: ¿Cómo entender este Algoritmo de Paridad de Riesgo?