Normalmente Distribuida Devuelve Convertido en Leptokurtic Debido a la Capitalización de

Question

Yo estaba corriendo un montón de simulaciones sencillas en excel el otro día en excel. El uso de la NORMA.INV(RAND(),0,1) para simular el diario la rentabilidad de las acciones me di cuenta de que el más agravado la devuelve, es decir, más que multiplica a la variable de distribución normal con ellos mismos en la forma (1+ NORMA.INV(RAND(),0,1))*(1+ NORMA.INV(RAND(),0,1))...(1+ NORMA.INV(RAND(),0,1)), más y más la distribución de las declaraciones finales, se agrupó alrededor de su media, y el más gordo de lo que las colas se convirtió. Es esta la misma propiedad que el mercado de valores de exposiciones, los rendimientos del mercado accionario podría ser distribuidos normalmente dover una unidad de tiempo, pero más y más el rendimiento de los compuestos, la distribución cambia y se convierte en leptokurtic??

Answer 1

Básicamente, lo que estás preguntando es: ¿Cuál es la distribución de $ $ $ Y = \prod_{i=1}^n X_i $$ donde $X_i$ se yo.yo.d. y $X_i \sim N(\mu \sigma^2)$.

En general, $$ Y tiene una muy complicado de distribución. Echa un vistazo a la discusión en https://math.stackexchange.com/questions/161757/what-is-the-distribution-of-a-random-variable-that-is-the-product-of-the-two-nor?lq=1

y

https://math.stackexchange.com/questions/133938/what-is-the-density-of-the-product-of-k-i-i-d-normal-random-variables?lq=1

Lo que se puede calcular fácilmente son los momentos de $Y$ desde $X_i$ se yo.yo.d.: Así $$ \mathbb{E}[Y] = \mathbb{E}\left[\prod{i=1}^n X_i\derecho] = \prod{i=1}\mu =\mu^n\\ \mathbb{V}[Y] = \mathbb{E}[Y^2] - \mathbb{E}[Y]^2 = \mathbb{E}[\left(\prod{i=1}^n X_i\derecho)^2] - \mu^{2n} = \prod_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i^2] - \mu^{2n} = \left(\sigma^2 + \mu^2\derecho)^n - \mu^{2n} \\ \mathbb{E}[(Y-\mathbb{E}[Y])^4] = \mathbb{E}[Y^4] - 4\mathbb{E}[Y^3]\mu^n + 6\mathbb{E}[Y^2]\mu^{2n} - 4\mathbb{E}[Y] \mu^{3n} + \mu^{4n} = \prod_{i=1}^n \mathbb{E}[X_i^4] + 6 \left(\sigma^2 + \mu^2\derecho)^n\mu^{2n} - 3 \mu^{4n} \\ = 3^n \sigma^{4n} + 6 \left(\sigma^2 + \mu^2\derecho)^n\mu^{2n} - 3 \mu^{4n} $$

La expresión para la curtosis de $$ Y por lo tanto es $$ kurt(Y) = \frac{3^n\sigma^{4n} + 6 \left(\sigma^2 + \mu^2\derecho)^n\mu^{2n} - 3 \mu^{4n}}{\left(\sigma^2 + \mu^2 \derecho)^n - \mu^{2n}} $$ que es el aumento en el n.

Answer 2

Como @Josué Ulrich señala que su distribución se hace más ancha. Aproximadamente, lo que hace es, a simular

$$ Y = X_1 + \dots + X_n $$ y $X_i$ es normal estándar. De yourse la varianza aumenta con $n$ (y la desviación estándar con $\sqrt{n}$).

Pero: mayor variación no significa más pesadas colas como sorpresas. Si quieres poner esto en un número fácil (además de los más complejos de la cola del índice) que usted debe buscar en kurtois, que se da (suponiendo que cero expectativas) por $$ kurt(X) = \frac{E[X^4]}{Var[X]^2} $$ así normalizar para el aumento de la varianza. Para más detalles consulta la wikipedia.

E. g. la distribución t puede tener colas más pesadas de lo normal, pero con la misma varianza.

PS: En su compuesto de hacer un $-1$ en el extremo derecho?