Ejercicio de Rescale de Cálculo Estocástico

Question

Tengo el siguiente sistema de EDE's

$ dA_t = \kappa_A(\bar{A}-A_t)dt + \sigma_A \sqrt{B_t}dW^A_t \\ dB_t = \kappa_B(\bar{B} - B_t)dt + \sigma_B \sqrt{B_t}dW^B_t $

Si $\sigma_B > \sigma_A$ consideraría que la volatilidad de $B_t$ es mayor que la de $A_t$ debido a que

$ d\langle A_\bullet\rangle_t = \sigma_A^2 B_t dt$ y $ d\langle B_\bullet\rangle_t = \sigma_B^2 B_t dt$

Ahora, si redimensiono el proceso $B$ por $\sigma_A^2$ y defino $\sigma_A^2B =\tilde{B}$, obtengo un sistema equivalente de EDE's

$ dA_t = \kappa_A(\bar{A}-A_t)dt + \sqrt{\tilde{B}_t}dW^A_t \\ d\tilde{B}_t = \kappa_B(\sigma_A^2\bar{B} - \tilde{B}_t)dt + \sigma_A\sigma_B \sqrt{\tilde{B}_t}dW^B_t $

Pero ahora, la afirmación "Si $\sigma_B > \sigma_A$ consideraría que la volatilidad de $\tilde{B}_t$ es mayor que la de $A_t$" ya no es válida. Consideremos $1>\sigma_B>\sigma_A$ y

$ d\langle A_\bullet\rangle_t = \tilde{B}_t dt$ y $ d\langle \tilde{B}_\bullet\rangle_t = \sigma_A^2\sigma_B^2 \tilde{B}_t dt$.

En este caso, la volatilidad $\tilde{B}$ de $A$ es mayor que $A$ solamente si $\sigma_A^2\sigma_B^2>1$, lo cual es completamente diferente de la condición anterior (es decir, $\sigma_B > \sigma_A$).

¿Qué salió mal? ¿Hay algún error en el redimensionamiento?

Answer 1

La respuesta de Loxol es correcta. Si cambias tu escala, tu condición también cambia, no puedes asumir más $\sigma_b>\sigma_a$ ya que también necesitas modificar tu condición para que coincida con tu nuevo proceso reescalado. Loxol ya dio la forma de construir una nueva condición.

Como mencionaste que $\sigma_b>\sigma_a$ solo se cumple para $B_t$ y $A_t$, esto no se puede transferir al nuevo proceso. Considera $\sigma_b^2=1/2$ y $\sigma_a^2=1/4$, $B_t$ es más volátil que $A_t. Sin embargo, $\tilde B_t$ tiene 1/8, lo cual no necesariamente significa que sea más volátil que $A_t$.

Esto se debe al cambio en la estructura de volatilidad con la multiplicación de $\sigma_A^2$. Si $\sigma_A^2>1$, se enfatiza la volatilidad de $B_t$ y si $\sigma_A^2<1$, se reduce la volatilidad. Solo con $\sigma_A^2=1$ la estructura de volatilidad permanece inalterada, donde tu condición $\sigma_b>\sigma_a$ se puede transferir a $\tilde B_t. Y el problema es que si eliges $\sigma_A^2<1, estás reduciendo la volatilidad de $\sigma_b$ y no puedes usar $\sigma_b>\sigma_a$ para $\tilde B_t. Por lo tanto, tu suposición de que $\sigma_b>\sigma_a$ implica que $\tilde B_t$ es más volátil que $A_t$ es generalmente incorrecta.

Answer 2

Si $\sigma_B > \sigma_A$, $B_t$ es más volátil que $A_t$. Ahora defines $\tilde{B_t}:=\sigma_A^2B_t$. La volatilidad de $\tilde{B_t}$ es igual a la volatilidad de ${B_t}$ multiplicada por $\sigma_A^2$. Por lo tanto, puedes considerar que si $\sigma_A^2\sigma_B > \sigma_A$, $\tilde{B_t}$ es más volátil que $A_t$. $\sigma_A^2\sigma_B > \sigma_A \leftrightarrow \sigma_A\sigma_B > 1$

Answer 3

Cuando escalas tu proceso se establece lo siguiente: $\tilde{B}_t=f(B_t)=\sigma_A^2 B_t$ entonces mediante Ito-Lemma, obtienes,

$df(B_t)=\partial_x f(B_t)dB_t+\frac{1}{2}\partial_{x^2}f(B_t)dt=\sigma_A^2 dB_t$

por lo tanto

$d\tilde{B}_t=\sigma_A^2dB_t=\sigma_A^2 \kappa(\hat{B}_t-B_T)dt+\sigma_A^2\sigma_B dW_t^B$

pero aún puedes simplificarlo y nada ha cambiado de manera que tu condición aún se cumple.